Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

Sejam A e B duas matrizes satisfazendo A = M B M - 1 , onde B = 3 0 0 1 e M = 0 - 1 1 0 . Quando vale A 6 ?

a   A 6 = 27 0 0 1

b     A 6 = 1 0 0 27

c   A 6 = 0 1 27 0

d   A 6 = 0 27 1 0

Passo 1

Opa, se liga nesse formato que o enunciado dá pra gente: A = M B M - 1 , onde B é uma matriz diagonal! Isso te lembra de alguma coisa? Isso, mesmo matriz diagonal!

E como estamos falando de potência de uma matriz então eles já facilitaram nosso trabalho e nos deram a matriz A diagonalizada haha. Só falta acharmos a inversa de M que é fácil já que M é 2 × 2 :

M - 1 = 0 1 - 1 0

Então:

A = 0 - 1 1 0 3 0 0 1 0 1 - 1 0

A 6 = 0 - 1 1 0 3 0 0 1 6 0 1 - 1 0

A 6 = 0 - 1 1 0 3 6 0 0 1 6 0 1 - 1 0

A 6 = 0 - 1 1 0 27 0 0 1 0 1 - 1 0 = 0 - 1 27 0 0 1 - 1 0 = 1 0 0 27

Resposta

Letra b

Exercícios de Livros Relacionados

Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .