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Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Exercício 3124567891011121314151617181920212223242526

Enunciado

Calcule - 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100

Passo 1

Bom, se alguém quiser multiplicar essa matriz 100 vezes fique a vontade. Pessoalmente eu prefiro fazer de um jeito que não leve minha vida toda haha. Vamos diagonalizar ela!

Primeiro passo, achar os autovalores:

det ⁡ - 1 - λ 7 - 1 0 1 - λ 0 0 15 - 2 - λ = 0

- 1 - λ 1 - λ - 2 - λ = 0

Logo, temos como autovalores λ = - 1 , λ = 1 e λ = - 2 .

Passo 2

Agora encontramos os autovetores:

λ = - 1 :

0 7 - 1 0 2 0 0 15 - 1 x y z = 0 0 0

7 y - z = 0 ⇒ z = 0 2 y = 0 ⇒ y = 0 15 y - z = 0

Como não temos nenhuma condição para x , ele pode assumir qualquer valor. Assim, um autovetor que possui autovalor λ = - 1 é:

1,0 , 0

λ = 1 :

- 2 7 - 1 0 0 0 0 15 - 3 x y z = 0 0 0

- 2 x + 7 y - z = 0 ⇒ - 2 x + 2 y = 0 ⇒ x = y 15 y - 3 z = 0 ⇒ z = 5 y

Assim, um autovetor que possui autovalor λ = 1 é:

1,1 , 5

λ = - 2 :

1 7 - 1 0 3 0 0 15 0 x y z = 0 0 0

x + 7 y - z = 0 ⇒ x = z 3 y = 0 ⇒ y = 0 15 y = 0 ⇒ y = 0

Assim, um autovetor que possui autovalor λ = - 2 é:

1,0 , 1

Passo 3

Já temos nossa P e nossa D :

D = - 1 0 0 0 1 0 0 0 - 2

P = 1 1 1 0 1 0 0 5 1

Vamos achar a P - 1 agora:

1 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 3 ← L 3 - 5 L 2 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 - 5 1 → L 1 ← L 1 - L 2 - L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Beleza, achamos nossa P - 1 :

P - 1 = 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Passo 4

Agora podemos resolver: - 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100 = P D 100 P - 1 = 1 1 1 0 1 0 0 5 1 - 1 100 0 0 0 1 100 0 0 0 - 2 100 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Obviamente não vamos resolver 2 100 , então podemos escrever o resultado como:

- 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100 = 1 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 100 0 0 0 2 100 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Resposta

1 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 100 0 0 0 2 100 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .