Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

Ver Teoria
Exercício 2512345678910111213141516171819202122232426

Enunciado

Seja A = 2 1 1 2 . Calcule A 10 .

(a) 1 2 1 - 1 - 1 1 + 3 10 2 - 1 1 1 - 1

(b) 1 2 1 - 1 - 1 1 + 3 10 2 1 1 1 1

(c) 1 2 - 1 1 1 - 1 + 3 10 2 1 - 1 - 1 1

(d) 1 2 1 1 1 1 + 3 10 2 - 1 - 1 - 1 - 1

Passo 1

Queremos elevar uma matriz a um expoente real, então vamos precisar diagonalizar a matriz!

Ou seja, vamos ter que fazer:

A = P D P - 1

Onde D é a matriz diagonal com autovalores na diagonal e P é a matriz com autovetores na coluna.

Lembrando que a ordem que os autovetores aparecem em P deve respeitar a ordem que os autovalores associados aparecem em D!

Agora vamos calcular os autovalores.

Passo 2

Para encontrar os autovalores de uma matriz, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico:

p λ = d e t ⁡ ( A - λ I )

Vamos ter então:

Para achar as raízes do polinômio característico, fazemos:

Daí tiramos que:

λ 1 = 1

λ 2 = 3

Passo 3

Agora usamos a definição de autovetor para achar os autoespaços associados a cada autovalor.

Para λ 1 = 1 :

A v = λ v

2 1 1 2 x y = 1 x y

Temos o sistema:

2 x + y = x x + 2 y = y

As duas equações nos dão que:

x = - y

Então um autovetor associado a λ 1 = 1 é:

v = 1 , - 1

Fazendo a mesma coisa para λ 2 = 3 :

A v = λ v

2 1 1 2 x y = 3 x y

Temos o sistema:

2 x + y = 3 x x + 2 y = 3 y

Agora as duas equações nos dão que:

x = y

Então um autovetor associado a λ 2 = 3 é:

v = 1,1

Passo 4

Agora já podemos diagonalizar a matriz A!

A matriz diagonal D vai ser:

D = 1 0 0 3

Respeitando a ordem que os autovalores foram colocados, vamos ter a matriz P:

P = 1 1 - 1 1

Calculando a inversa de P, vamos ter:

P - 1 = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

Agora, para elevar a matriz a 10, basta fazer:

A 10 = P D 10 P - 1

Agora vamos escrever isso de forma parecida com o que temos nas alternativas.

Separando os termos que têm expoente dos que não têm:

Resposta

(b) 1 2 1 - 1 - 1 1 + 3 10 2 1 1 1 1

Exercícios de Livros Relacionados

Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .