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Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

A5 T9

Seja A uma matriz n × n . Assinale a alternativa FALSA:

( a ) Se A 2 = A então os autovalores de A só podem ser 0 ou 1

( b ) Se as colunas de A são linearmente independentes então zero não é um autovalor de A

( c ) Se det ⁡ A = 0 então zero é autovalor de A

( d ) Se A 2 = I então o único autovalor de A é 1

Passo 1

Vamos letra por letra:

Letra a

Se A 2 = A então os autovalores de A 2 tem que ser obrigatoriamente iguais aos de A . E temos que:

A = P D P - 1

A 2 = P D 2 P - 1

Onde D é a matriz diagonal de autovalores. Logo, para que D = D 2 , precisamos que λ = λ 2 para todos os autovalores da matriz. O único jeito de isso acontecer é se os autovalores forem 0 ou 1 . Essa é verdadeira.

Letra b

Como A é quadrada, suas colunas serem L I implica em A ser injetiva, ou seja, N u c A = 0 . Como o núcleo de A é igual a 0 não há autoespaço associado ao 0 . Logo, ele não é autovalor de A .

Letra c

Como A é quadrada, det ⁡ A = 0 ⇔ N u c A ≠ 0 , logo, existe um autoespaço associado ao 0 e ele é autovalor de A .

Letra d

Se A 2 = I , por lógica análoga à da letra a precisamos que os autovalores de A ao quadrado sejam iguais a 1 (autovalor de I ). Logo:

λ 2 = 1

λ = ± 1

Então essa é falsa, A também pode ter autovalor - 1 .

Resposta

Letra ( d )

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .