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Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.1, Questão 08

O conjunto dos cidadãos de um certo país está dividido entre os que reside no país e os que vivem no exterior. Todo ano, 10% da população interna vai morar no estrangeira, e 30% que moram fora migram de volta. A continuar esse fluxo migratório, qual a porcentagem aproximada da população total que estará morando no exterior dentro de 10 anos?

(a) 15%

(b) 10%

(c) 30 %

(d)   25 %

Passo 1

Vou chamar de r o número de cidadãos que residem no país e e o número de cidadãos que vivem no exterior.

A cada ano k vou ter a seguinte relação para o r :

r k + 1   = 90 % r k + 30 % e k

Ou seja, o numero de residentes no ano k + 1 vai ser 90% dos residentes do ano anterior mais 30 %   dos que moravam fora.

E essa para o e :

  e k + 1   = 10 % r k + 70 % e k

Ou seja, o número de cidadãos que vivem no exterior vai ser 10% dos que residiam no país mais 70 %   dos que já moravam for a do país.

Repara que agora eu tenho um sistema com duas equações:

r k + 1   = 90 % r k + 30 % e k e k + 1 = 10 % r k + 70 % e k

Que pode ser escrito na forma matricial:

r k + 1 e k + 1 = 0.9 0.3 0.1 0.7 r k e k

Passo 2

Como eu quero saber da situação daqui a 10 anos, preciso aplicar a matriz 10 vezes! Quando falamos isso de aplicar a matriz 10 vezes, uma coisa vem na nossa cabeça: elevar a matriz a potência 10.

Para isso, vamos diagonalizar isso aí, primeiro achando os autovalores:

p λ = det ⁡ A - λ I = 0,9 - λ 0,3 0,1 0,7 - λ = 0,9 - λ 0,7 - λ - 0,03

p λ = λ 2 - 1,6 λ + 0,6

Resolvendo isso, acho λ = 1 e λ = 0,6 .

Agora os autovetores:

0,9 0,3 0,1 0,7 r k e k = 1 r k e k

0,9 r k + 0,3 e k = r k 0,1 r k + 0,7 e k = e k → - 0,1 r k + 0,3 e k = 0 0,1 r k - 0,3 e k = 0

Tenho então que r k = 3 e k . Assim os autovetores associados a λ = 1 são e k 3,1 .

0,9 0,3 0,1 0,7 r k e k = 0,6 r k e k

0,9 r k + 0,3 e k = 0,6 r k 0,1 r k + 0,7 e k = 0,6 e k → 0,3 r k + 0,3 e k = 0 0,1 r k + 0,1 e k = 0

Tenho então que r k = - e k . Assim os autovetores associados a λ = 0,6 são e k 1 , - 1 .

Assim, a diagonalização é:

0,9 0,3 0,1 0,7 = 3 1 1 - 1 1 0 0 0,6 3 1 1 - 1 - 1

0,9 0,3 0,1 0,7 = 3 1 1 - 1 1 0 0 0,6 1 4 1 1 1 - 3

Passo 3

Agora vou elevar a matriz a 10:

0,9 0,3 0,1 0,7 10 = 3 1 1 - 1 1 10 0 0 0,6 10 1 4 1 1 1 - 3

0,9 0,3 0,1 0,7 10 = 3 1 1 - 1 1 10 0 0 0,6 10 1 4 1 1 1 - 3

Bom   0,6 10 é um número bem próximo de 0, então vamos aproximar para zero e fazer as contas:

  0,9 0,3 0,1 0,7 10 = 3 1 1 - 1 1 0 0 0 1 4 1 1 1 - 3

0,9 0,3 0,1 0,7 10 = 3 4 3 4 1 4 1 4

Passo 4

Assim, temos que

r 10 e 10 = 3 4 3 4 1 4 1 4 r k e k

3 4 r k + 3 4 e k = r 10 1 4 r k + 1 4 e k = e 10

Queremos a percentagem da população que está morando no exterior, ou seja e 10 sobre a populace total, r k + e k . Ou seja:

e 10 r k + e k

Temos uma expressão para o e 10 então vamos substituir:

1 4 r k + 1 4 e k r k + e k = 1 4 r k + e k r k + e k = 1 4 = 25 %

Resposta

d

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .