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Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

A5 T9

Se A = 1 - 1 1 1 , qual dentre as matrizes abaixo é igual a A 10 .

( a ) A = 0 - 32 32 0

( b ) A = - 32 - 32 32 - 32

( c ) A = - 64 0 0 - 64

( d ) A = - 64 64 - 64 - 64

Passo 1

Bom, falou em potenciação de matrizes já sabe o que fazer né? Diagonalizar! Então precisamos achar os autovalores e autovetores da matriz!

det ⁡ 1 - λ - 1 1 1 - λ = 0

1 - λ 2 + 1 = 0

λ 2 - 2 λ + 1 + 1 = 0

λ 2 - 2 λ + 2 = 0

Δ = 4 - 8 = - 4

λ = 2 ± - 4 2 = 1 ± i

EITA CACETE! O que esses autovalores complexos estão fazendo aí caraaaa???!!! Pois é, muita sacanagem terem posto isso. Mas e aí, como resolvemos? Vamos resolver na marra! Pensa bem, temos uma matriz simples e 10 nem é um número tão grande, então vamos multiplicar ela por ela mesma 10 vezes!

A = 1 - 1 1 1

A 2 = 1 - 1 1 1 1 - 1 1 1 = 0 - 2 2 0

A 3 = 0 - 2 2 0 1 - 1 1 1 = - 2 - 2 2 - 2

A 4 = - 2 - 2 2 - 2 1 - 1 1 1 = - 4 0 0 - 4

A 5 = - 4 0 0 - 4 1 - 1 1 1 = - 4 4 - 4 - 4

A 6 = - 4 4 - 4 - 4 1 - 1 1 1 = 0 8 - 8 0

Você entendeu né? Se você fizer isso mais 4 vezes você chega no resultado. OOOU você pode perceber o padrão ai! Repara que a cada expoente par de A , os valores que temos na matriz estão multiplicados por 2 :

A 2 → 2

A 4 → 4

A 6 → 8

A 8 → 16

A 10 → 32

Além disso, as matrizes com expoente par sempre tem a diagonal principal ou a secundária zerada! A única opção com uma diagonal zerada e com 32 é a a , então ela é a correta.

Resposta

Letra ( a )

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .