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Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P4 – 2017.1, Questão 15

Considere o vetor v → = ( 1,1 , 1,1 ) e a matriz A = 1 2 3 4 2 4 6 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 1 / 4 - 1 / 2 - 3 / 4 - 1 . Calcule A 100 v → :

(Dica: não é necessário encontrar o polinômio característico de A para calcular os autovalores de A . )

(a) - 2 7 , - 4 7 , - 6 7 , - 8 7

(b) 7 4 , 7 2 , 21 4 , 7

(c) 1 4 , 1 2 , 3 4 , 1

(d) ( 2 100 ,   2 101 , 3 2 100 , 2 102 )

Passo 1

Bom, vamos usar a dica e não calcular o polinômio característico. Beleza, mas então como eu vou saber quais os autovalores?

Vamos dar uma olhada na matriz A :

1 2 3 4 2 4 6 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 1 / 4 - 1 / 2 - 3 / 4 - 1

Um autoespaço que podemos descobrir sem aquele processo é o núcleo, ou seja o autoespaço associado a λ = 0 .

Todas as suas colunas são combinação linear umas das outras, ou seja, vamos ter uma imagem de dimensão igual a 1, aí pelo T N I conseguimos achar a dimensão do núcleo:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A = 4

dim ⁡ N u c A = 3

Ou seja, o 0 vai ser autovalor 3 vezes! Falta achar o quarto autovalor!

Passo 2

Vamos usar o fato de que o traço da matriz, ou seja, a soma dos elementos da sua diagonal, é igual a soma dos autovalores:

t r A = λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 = 0 + 0 + 0 + λ 4

t r A = 1 = λ 4

Passo 3

Agora, para elevar a matriz a um expoente real precisamos diagonalizá-la :

A 100 = P D 100 P - 1

A matriz que muda é a D , composta pelos autovalores, então vamos achar a nova matriz D :

D = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

D 100 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 100 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Opa D = D 100 , então P D 100 P - 1 = P D P - 1 ou seja, A 100 = A .

Logo, para aplicar o vetor v → em A 100 é só aplicar em A !

Passo 4

Calculando A v → :

1 2 3 4 2 4 6 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 1 / 4 - 1 / 2 - 3 / 4 - 1 1 1 1 1 = 7 4 7 2 21 4 7

Resposta

b

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .