Considere a matriz e a base canônica do

1. Determine uma base do tal que é diagonal.
2. Determine D.
3. Escreva a relação entre as matrizes A e D usando matrizes de mudança de base.
4. Associe a relação obtida no item (b) com a expressão e mostre que
5. Calcule .

Nosso papel agora é descobrir quais os autovetores associados a cada autovalor. Os autovetores são obtidos pela seguinte relação:

Para , temos:

Obtemos então o seguinte sistema:

Agora, vamos subtrair a terceira linha da primeira linha , e a segunda linha com a primeira linha. Logo,

Portanto, obtemos que e da primeira linha, . Logo, o nosso primeiro autovetor é obtido de . Portanto,

Agora, vamos repetir o procedimento para .

Obtemos então o seguinte sistema:

Somando a segunda linha com a primeira e subtraindo a terceira linha de duas vezes a primeira , obtemos:

Portanto, obtemos que e da primeira linha, . Logo, o nosso segundo autovetor é obtido de . Portanto, .

Por fim, para .

Obtemos então o seguinte sistema:

Da segunda e da terceira linha obtemos que e . Logo, o nosso terceiro autovetor é obtido de . Portanto,

Como todos autovetores são distintos, a base é dada por:

Agora, vamos obter a matriz . Este passo é simples, pois todas as informações que precisamos, já foi obtida nos passos anteriores.

Como a matriz está relacionada a base , uma base de autovetores, esta nossa matriz será uma matriz diagonal. Nas posições da diagonal principal estarão os autovalores associado a cada autovetor.

É importante tomarmos cuidado agora. Cada elemento estará associado ao autovalor do elemento de ordem da base. Por exemplo, se temos o elemento , deveremos pegar o autovalor do segundo elemento da base , que no caso é 1.

Portanto, a matriz D é:

Agora, precisamos relacionar e utilizando as matrizes de mudança de base e . Para isto, basta lembrarmos que:

Só que como , temos:

Agora, vamos precisar utilizar a relação do item anterior com a expressão para provar que:

Bom, nosso primeiro passo é identificar quem é esse e . Ao compararmos com a resposta do item anterior, , verificamos que e .

Portanto, podemos reescrever como ou (lembrando que é a matriz inversa de ). Esta última notação será fundamental para provarmos a nossa relação.

Agora, vamos provar a relação de . Para isto, vamos buscar identificar um padrão ao multiplicarmos a matriz várias vezes. Sendo assim, temos:

Como o produto de uma matriz pela sua inversa é igual a identidade, temos:

Agora, vamos para . Portanto,

Para , temos:

E assim já podemos concluir o seguinte padrão:

E assim está provada a relação da questão.

Para finalizarmos a questão, precisamos calcular , utilizando a relação provada no passo anterior, temos:

Bom, vamos começar calculando , que é mais fácil. Como temos uma matriz diagonal, basta elevarmos os elementos da diagonal principal a 2019. Portanto,

Portanto, .

Agora, precisamos descobrir quem é a matriz e . Para obtermos a matiz P, basta colocarmos em cada coluna as coordenadas dos nossos autovetores. Portanto, na primeira coluna temos as coordenadas do primeiro autovetor. Na segunda coluna as coordenadas do segundo autovetor, e, por fim, na terceira coluna, as coordenadas do terceiro autovetor.

Lembrando que a nossa base é dada por,

Agora, precisamos inverter a nossa matriz , para obter . Utilizando o método de escalonamento, temos:

Somando a segunda linha com a primeira , temos:

Subtraindo a terceira linha da segunda e subtraindo a primeira linha da segunda , temos:

Por fim, subtraímos a primeira linha da terceira . Logo,

E assim, a nossa matriz é dada por:

Agora, basta fazer a multiplicação dada por . Portanto,

E assim finalizamos a nossa questão!