Calcule:
para
para
Passo 1
Para elevar uma matriz a um expoente precisamos diagonalizar ela, então vamos lá.
Dazendo algumas contas achamos que os autoespaços são:
Para
E para :
Passo 2
Assim, a matriz diagonal fica:
E a matriz dos autovetores e a sua inversa:
Agora fica fácil de elevar a matriz a :
Passo 3
Caramba, raíz quadrada de uma matriz?? Como assim??? Lembre-se que calcular a raiz quadrada de qualquer coisa é elevar a , logo estamos elevando a matriz a um expoente e assim podemos aplicar a mesma ideia da letra .
Vamos calcular os autovalores de :
Fazendo algumas contas podemos ver que os autoespaços são:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Antes de avançar vamos botar aqui a matriz dos autovalores e dos autovetores:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .