Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Dez dias após seu lançamento para Marte, em dezembro de 1998, a espaçonave Mars Climate Orbiter (massa igual a 629   k g ) estava a uma distância de 2,87 × 10 6   k m da Terra e se deslocava com rapidez igual a 1,20 × 10 4   k m / h em relação à Terra. Nesse momento, qual era:

a) A energia cinética da espaçonave em relação a Terra?

b) A energia potencial gravitacional do sistema espaçonave-Terra?

Dados:

Constante gravitacional: G = 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2

Raio da Terra: R T = 6,38 × 10 6   m

Massa da Terra: M T = 5,98 × 10 24   k g

Passo 1

Na letra (a), queremos a energia cinética da espaçonave com relação a Terra.

Mas por que ele diz com relação a Terra???

A gente não costuma falar energia cinética com relação a “alguma coisa” porque normalmente estamos em uma situação na superfície da Terra, então isso fica implícito.

Mas dentro do assunto gravitação (no espaço), poderíamos muito bem assumir a energia cinética com relação a um outro planeta por exemplo, então, ele apenas especificou que é com relação a Terra.

Mas voltando a questão... a energia cinética é dada por:

K = m v 2 2

Então, basta substituir os valores que encontramos essa energia.

Passo 2

Antes de substituir, devemos prestar muita atenção nas unidades, dá uma olhada na velocidade:

v = 1,20 × 10 4   k m / h

Temos a velocidade em quilômetros por hora k m / h , uma unidade bem infeliz de se trabalhar hahah.

Vamos passar isso para o Sistema Internacional em m / s , para não obter uma unidade muito doida de energia.

Para passa de quilômetros para metros, basta multiplicar por 10 3 :

1   k m = 10 3   m

Então:

v = 1,20 × 10 4 × 10 3   m h

v = 1,20 × 10 7   m / h

Além disso, vamos passar a unidade hora h para segundos s . Uma hora é igual a 60   m i n :

1   h = 60   m i n

E cada minuto é igual a 60   s :

1   h = 60 × 60   s

1   h = 3600   s

Então, devemos dividir por 3600   s , pois a hora h está no denominador:

v = 1,20 × 10 7   m h

v = 1,20 × 10 7   m 3600   s

v = 3,33 × 10 3   m / s

Pronto, nossa unidade está no Sistema Internacional.

Passo 3

Vamos substituir os valores na expressão de energia cinética:

K = m v 2 2

K = 629 3,33 × 10 3 2 2

Fazendo essa continha, temos:

K = 3,49 × 10 9   J

Passo 4

Na letra (b), queremos a energia potencial gravitacional U g do sistema espaçonave-Terra.

A energia potencial gravitacional é dada por:

U g = - G M m r

Então, em um sistema como esse entre apenas um planeta de massa M e um corpo de massa m , essa energia vai variar conforme a distância r entre os dois.

Passo 5

A distância r vai ser o raio da Terra somado com a distância do satélite até a Terra em metro

r = 2,87 × 10 9 + 6,38 × 10 6 = 9,25 × 10 6   k m

r = 2 , 87638 × 10 9 m

Basta substituirmos os valores:

U g = - 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24 629 2 , 87638 × 10 9

U g = - 8 , 72 × 10 7   J

Resposta

(a) K = 3,49 × 10 9   J

(b) U g = - 8 , 72 × 10 7   J

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