UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 3 – Questão 7
Considere o problema de valor inicial
No retângulo .
Para este problema, qual função não satisfaz as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade.
Escolha uma opção:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? O problema pede que escolhamos uma função que não satisfaz as hipóteses do Teorema da Existência e Unicidade.
Esse teorema é bem interessante: ele tem algumas hipóteses e se o PVI satisfizer todas essas hipóteses, podemos dizer que esse problema de valor inicial tem solução e é única. Legal né?
Ele não nos diz qual é essa solução, só nos diz que ela existe e é única. E antes de escrever as hipóteses, vamos deixar esse PVI na forma bonitinha:
Ou seja, vamos trocar por e colocar todo o resto por outro lado da igualdade. Feito isso, vamos as hipóteses do teorema:
Vou traduzir essas hipóteses para você:
1: identificar a função lá do lado direito e derivar em relação a .
2: olhar a continuidade dessas funções, ou seja, ver se elas apresentam algum ponto estranho, com divisão por zero, raiz de índice par de número negativo... essas coisas
3: se estiver tudo ok, escolher um intervalo retangular (de número a número, esse intervalo foi dado!) em que ao mesmo tempo tenhamos as funções do passo 2 contínuas e que contenham e .
Se tudo der certo, então esse PVI tem solução e é único! Beleza?
O problema nos dá 4 opções de , e lembrem-se de que essa função e a derivada dela em relação a tem que ser contínua, então precisamos testar isso e as outras hipóteses para cada uma delas!
Passo 2
Temos essas opções:
Vou a letra (a) primeiro.
Nosso teorema é:
Então nosso PVI com essa função é:
Do passo 1. Temos:
Ambas funções são contínuas, e em qualquer lugar! Então já conseguimos satisfazer o passo 2.
Agora precisamos ver se essas funções são contínuas no intervalo dado:
Aqui e , então temos dentro dele o e o que são os pontos da condição inicial. Então perfeito! As hipóteses todas foram satisfeitas. Logo não é essa função que apresenta uma falha.
Precisamos testar as outras.
Passo 3
Escolhendo a letra (b):
Então nosso PVI com essa função é:
Do passo 1. Temos:
Essas funções são contínuas em qualquer lugar! Em fica bem fácil de ver: elas independem desse parâmetro!
E de : mesmo ele podendo ser zero, não teremos uma divisão por zero. E se ele for negativo, não teremos uma raiz negativa (seria o lugar onde essas funções não iriam existir) por conta daquele que deixa tudo positivo dentro do radical;
Assim ambas funções são contínuas, e em qualquer lugar! Então já conseguimos satisfazer o passo 2.
Como elas são contínuas em qualquer lugar, dentro da região dada também são! O intervalo dado:
Aqui e , então temos dentro dele o e o que são os pontos da condição inicial. Então perfeito! As hipóteses todas foram satisfeitas. Logo não é essa função que apresenta uma falha.
Precisamos seguir e testar as outras.
Passo 4
Escolhendo a letra (c):
Então nosso PVI com essa função é:
Do passo 1. Temos:
Essas funções são contínuas em qualquer lugar! Em fica bem fácil de ver: elas independem desse parâmetro!
E de : polinômios são contínuos em todos lugares!
Assim ambas funções são contínuas, e em qualquer lugar! Então já conseguimos satisfazer o passo 2.
Como elas são contínuas em qualquer lugar, dentro da região dada também são! O intervalo dado:
Aqui e , então temos dentro dele o e o que são os pontos da condição inicial. Então perfeito! As hipóteses todas foram satisfeitas. Logo não é essa função que apresenta uma falha.
Ainda temos uma última função para testar!
Passo 5
Escolhendo a letra (d):
Então nosso PVI com essa função é:
Do passo 1. Temos:
Vamos analisar a função .
Se tivermos , ficaremos com um radicando negativo! E isso é proibido! Essa função é contínua apenas em tal que . E aqui ainda não excluímos o , já que ele precisa fazer parte do nosso intervalo.
Agora vamos analisar a derivada .
Aqui temos o mesmo problema com o radicando, ele precisa ser positivo. Mas vamos além! Esse radicando agora não pode ser nulo! Isso porque não podemos ter divisão por zero! Então aqui o intervalo exclui o .
E com isso a derivada não está definida no ponto do valor inicial, falhando com a hipótese 3 do teorema!
O intervalo dado é:
Embora não tenhamos problemas com , temos com ! E não conseguimos um intervalo dentro dessa região que contenha simultaneamente o ponto de valor inicial e o lugar onde a função e sua derivada em são contínuas. Portanto, esse PVI pode ou não ter soluções e ela pode ser múltipla.
Assim a função que não podemos escolher é a (d).