UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 3 – Questão 4
O problema de valor inicial admite uma única solução.
Escolha uma opção:
Verdadeiro ou falso?
Passo 1
Fala galera, tudo bem?
O enunciado deu um formato de problema de valor inicial e perguntou se é verdade que ele admite uma única solução.
Existe o teorema da existência e da unicidade de soluções de um problema de valor inicial. Esse teorema nos diz que, uma vez que tenham sidas satisfeitas todas as etapas, temos uma solução para o PVI e ela é única.
Eu pensei em usar esse teorema pois o exercício nos deu um problema de valor inicial e questionou quando a existência e unicidade da solução para ele. Então a ideia aqui é testar as condições do teorema para saber se a solução existe e se ela é única. Beleza?
Antes de falar as etapas desse teorema, vamos reorganizar o PVI dado!
Precisamos ter a derivada isolada de um lado e jogar tudo para o outro lado, dessa forma aqui:
Agora vamos ao teorema!
Bom, precisamos lembrar o que nos diz o teorema da Existência e da Unicidade:
Aplicando isso ao nosso caso, temos que , só isso que muda!
E se algum ou alguns itens não forem satisfeitos?
Se algumas dessas condições não forem satisfeitas, o PVI pode ou não ter solução, e em caso de haver solução, essa pode ser única ou várias.
Então para que a afirmativa do enunciado seja verdadeira, nenhum desses 4 passos pode falhar!
Certo?
Passo 2
Agora vamos fazer cada um dos passos.
- Isolar a derivada
- Identificar e calcular .
- Verificar onde as funções calculadas no passo 2 são contínuas
- Escolher um intervalo para e outro para onde as funções do passo 2 são contínuas e que contenham a condição inicial.
Já temos, próximo passo!
Aqui
E a derivada parcial em relação à y:
Ok?! Próximo passo!
Passo 3
As funções são:
Tanto a função seno quanto os polinômios são funções contínuas em todos os reais, ou seja, não existe valor de ou que eu coloque ali nessas funções que vá dar alguma indeterminação, tipo raiz de incide par de número negativo, divisão por zero, essas coisas...
Então elas são contínuas em todo , que é o maior conjunto que podemos ter.
Próximo passo!
Passo 4
Como as funções são continuas em qualquer intervalo, vamos escolher um intervalo perto dos pontos da condição inicial.
A condição inicial é:
Então precisamos que o intervalo de contenha e que o intervalo de contenha também o . Então uma possibilidade é:
Lembrando que esses intervalos são abertos (vamos usar apenas, e não ) e os intervalos não precisam ser iguais. Podem ser iguais, mas não precisam.
Então chegamos ao ponto 4 satisfazendo todas as etapas anteriores! Nenhum dos passos falhou!
Pronto, sabemos que esse PVI possui solução e mais, sabemos que essa solução é única!
Logo a afirmativa está correta! É verdadeiro.