UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 3 – Questão 10
O problema de valor inicial , admite várias soluções.
Escolha uma opção:
Verdadeiro ou falso.
Passo 1
Oi pessoal, tudo tranquilo?
O enunciado deu um formato de problema de valor inicial e perguntou se é verdade que ele admite várias soluções.
Existe o teorema da existência e da unicidade de soluções de um problema de valor inicial. Esse teorema nos diz que, uma vez que tenham sidas satisfeitas todas as etapas, temos uma solução para o PVI e ela é única.
Eu pensei em usar esse teorema pois o exercício nos deu um problema de valor inicial e questionou quando a existência e unicidade da solução para ele. Então a ideia aqui é testar as condições do teorema para saber se a solução existe e se ela é única. Beleza?
Bom, precisamos lembrar o que nos diz o teorema da Existência e da Unicidade:
Aplicando isso ao nosso caso, temos que , só isso que muda!
E se algum ou alguns itens não forem satisfeitos?
Se algumas dessas condições não forem satisfeitas, o PVI pode ou não ter solução, e em caso de haver solução, essa pode ser única ou várias.
Então para que a afirmativa do enunciado seja verdadeira, algum desses 4 passos precisa falhar!
Certo?
Passo 2
Agora vamos fazer cada um dos passos do teorema.
- Isolar a derivada
- Identificar e calcular .
- Verificar onde as funções calculadas no passo 2 são contínuas
- Escolher um intervalo para e outro para onde as funções do passo 2 são contínuas e que contenham a condição inicial.
Precisamos ter a derivada isolada de um lado e jogar tudo para o outro lado, dessa forma aqui:
Fazendo e passando tudo pro outro lado:
Aqui é o lado direito da equação depois que isolamos a derivada
E a derivada parcial em relação à y:
Ok?! Próximo passo!
Passo 3
As funções são:
Tanto a exponencial quanto os polinômios (tanto em t quanto em y) são funções contínuas em todos os reais, ou seja, não existe valor de ou que eu coloque ali nessas funções que vá dar alguma indeterminação (tipo raiz de incide par de número negativo, divisão por zero, essas coisas...)
Então elas são contínuas em todo , que é o maior conjunto que podemos ter.
Próximo passo!
Passo 4
Como as funções são continuas em qualquer intervalo, vamos escolher um intervalo perto dos pontos da condição inicial.
A condição inicial é:
Então precisamos que o intervalo de contenha e que o intervalo de contenha o . Então uma possibilidade é:
Lembrando que esses intervalos são abertos (vamos usar apenas, e não ) e os intervalos não precisam ser iguais. Podem ser iguais, mas não precisam. E essa região precisa ser retangular, ou seja, ela precisa ir de número até número.
Então chegamos ao ponto 4 satisfazendo todas as etapas anteriores! Nenhum dos passos falhou!
Pronto, sabemos que esse PVI possui solução e mais, sabemos que essa solução é única!
Logo a afirmativa está incorreta! Precisávamos que algum dos passos falhasse, o que não aconteceu. Portanto a afirmativa é falsa.