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Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

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Enunciado

Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região

d y d x = x y

Passo 1

Bom, já que ele falou de única solução, tá com cara que vamos usar o teorema da existência e unicidade. Então vamos lá.

Pra nossa função f ( x , y ) vamos seguir os passos:

  1. Isolar a derivada e chamar de f ( x , y ) .

    2. d y d x = f ( x , y ) = x y

  2. Identificar f ( x , y ) e calcular ∂ f / ∂ y .

    3. f ( x , y ) = x y

    ∂ f ∂ y = x 2 x y

  3. Verificar onde as funções do passo 2 são contínuas.

    4. A função f é contínua pra x y ≥ 0 e ∂ f ∂ y é contínua pra x y > 0 . Como queremos que as duas sejam contínuas, devemos ter x y > 0 .

  4. Escolher um intervalo para x e outro para y onde as funções do passo 2 são contínuas e que contenham a condição inicial.

Como a condição inicial que ele deu foi genérica, y x 0 = y 0 , vamos só pegar os intervalos em que as funções são contínuas.

Passo 2

Nós vimos que pra f ( x , y ) e sua derivada ∂ f ∂ y serem contínuas devemos ter:

x y > 0

Mas quando uma multiplicação de dois números é necessariamente maior que zero?

Quando:

x > 0   e   y > 0

Ou quando:

x < 0   e   y < 0

Passo 3

Bom, como conseguimos achar intervalos em que f ( x , y ) e ∂ f ∂ y são contínuas, e que contenham a condição inicial (genérica), o teorema da existência e unicidade diz que nossa equação possui solução e ela é única nas regiões:

x > 0   e   y > 0

x < 0   e   y < 0

Resposta

A EDO terá solução única nas duas regiões abaixo do plano x y :

x > 0   e   y > 0

x < 0   e   y < 0

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