Um problema de valor inicial da forma y' = f(t, y), y(1) = 2 , sempre possui uma solução definida em qualquer intervalo contendo o ponto 1.

Escolha uma opção:

Verdadeiro ou falso

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

O enunciado nos diz que um PVI na forma:

y ' = f t , y ,   y 1 = 2

Sempre possui uma solução definida em qualquer intervalo contendo o ponto 1.

Vamos verificar se isso é verdade?

Bom, quando falamos em ver se um PVI possui uma ou várias soluções, pensamos no Teorema da Existência e da Unicidade.

Esse teorema nos diz que, se forem satisfeitos todos os passos do teorema, esse PVI tem apenas uma solução. Então para ver se a afirmativa é verdadeira ou não, precisamos ver se o PVI dado satisfaz todas as condições dele.

Certo?

Passo 2

O teorema nos diz o seguinte. Para um PVI na forma:

d y d t = f t , y ,   y t 0 = y 0

Precisamos:

  1. Identificar f ( t , y ) e calcular ∂ f / ∂ y
  2. Verificar onde as funções calculadas no passo 1 são contínuas
  3. Escolher um intervalo para t e outro para y onde as funções do passo 1 são contínuas e que contenham a condição inicial y t 0 = y 0

Se conseguir fazer os 3 passos, parabéns, temos que a solução existe e é única!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos seguir os passos.

  1. Identificar f ( t , y ) e calcular ∂ f / ∂ y

No nosso problema temos:

d y d t = f t , y

Não conhecemos f t , y ,   e nem nada sobre ela! Não sabemos se ela é contínua, em que intervalo ela é contínua, se é em todos os reais, se tem algum ponto de indeterminação...

E se não temos f ( t , y ) , então não conseguimos achar a derivada! Então assim, já começamos falhando um ponto!

Vamos supor que temos a função e que conseguimos calcular a derivada, certo?

Passo 4

O próximo passo é identificar um intervalo que as funções sejam contínuas e que contenha o ponto inicial. Se esse intervalo existir, esse ponto do teorema será satisfeito.

Mas nesse caso, não temos como garantir que esse intervalo existe e que seja onde as funções são contínuas, porque não sabemos a cara dela!

Sendo assim, a afirmativa é falsa.

Resposta

f a l s a

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