UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 3 – Questão 12
Um problema de valor inicial da forma , sempre possui uma solução definida em qualquer intervalo contendo o ponto 1.
Escolha uma opção:
Verdadeiro ou falso
Passo 1
Fala galera, tudo bem?
O enunciado nos diz que um PVI na forma:
Sempre possui uma solução definida em qualquer intervalo contendo o ponto 1.
Vamos verificar se isso é verdade?
Bom, quando falamos em ver se um PVI possui uma ou várias soluções, pensamos no Teorema da Existência e da Unicidade.
Esse teorema nos diz que, se forem satisfeitos todos os passos do teorema, esse PVI tem apenas uma solução. Então para ver se a afirmativa é verdadeira ou não, precisamos ver se o PVI dado satisfaz todas as condições dele.
Certo?
Passo 2
O teorema nos diz o seguinte. Para um PVI na forma:
Precisamos:
- Identificar e calcular
- Verificar onde as funções calculadas no passo 1 são contínuas
- Escolher um intervalo para e outro para onde as funções do passo 1 são contínuas e que contenham a condição inicial
Se conseguir fazer os 3 passos, parabéns, temos que a solução existe e é única!
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos seguir os passos.
- Identificar e calcular
No nosso problema temos:
Não conhecemos e nem nada sobre ela! Não sabemos se ela é contínua, em que intervalo ela é contínua, se é em todos os reais, se tem algum ponto de indeterminação...
E se não temos , então não conseguimos achar a derivada! Então assim, já começamos falhando um ponto!
Vamos supor que temos a função e que conseguimos calcular a derivada, certo?
Passo 4
O próximo passo é identificar um intervalo que as funções sejam contínuas e que contenha o ponto inicial. Se esse intervalo existir, esse ponto do teorema será satisfeito.
Mas nesse caso, não temos como garantir que esse intervalo existe e que seja onde as funções são contínuas, porque não sabemos a cara dela!
Sendo assim, a afirmativa é falsa.