Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

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Enunciado

Determine, por inspeção, pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial dado.

y ' = 3 y 2 3   ,   y 0 = 0

Passo 1

Pelo que o enunciado nos diz, ele quer que resolvamos essa EDO achando uma solução condizente mas sem utilizar um método de resolução. Vamos botar a mão na massa.

Passo 2

Vamos relembrar uns conhecimentos úteis de derivada. Nós já sabemos que a derivada de uma constante é zero. Já que ele disse que y 0 = 0 , então a função onde y é constante e que satisfaça essa condição é y = 0 . Vamos testar:

y ' = 0

3.0 2 3 = 0

Só alegria. Provamos que y = 0 é solução.

Passo 3

Vamos caçar outra solução agora. Fuçando nos nossos conhecimentos de derivada podemos lembrar que a derivada de uma função y = b x a é y ' = b a x a - 1 . Isso parece muito interessante pro nosso problema. Vamos testar.

y ' = 3 y 2 3

Substituindo y e y ' , temos:

b a x a - 1 = 3 b x a 2 3

b a x a - 1 = 3 b 2 3 x 2 a 3

O que nos permite tirar duas igualdades:

b a = 3 b 2 3 a - 1 = 2 a 3

Opa, a segunda só tem uma variável! Mamão com açúcar então, saca só:

3 a - 3 = 2 a

a = 3

Substituindo na primeira equação ficamos com:

3 b = 3 b 2 3

b = b 2 3

As duas soluções que satisfazem essa condição são

b = 1 0

Como b = 0 nos daria a solução y = 0 de novo, vamos considerar b = 1 , e logo, fechamos a questão com:

y = x 3

Vamos testar se a condição inicial está batendo.

y 0 = 0 3 = 0  

Achamos nossa segunda solução

Resposta

y = 0   ,     y = x 3  

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