UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 3 – Questão 5
O problema de valor inicial admite uma única solução.
Escolha uma opção:
Verdadeiro ou falso?
Passo 1
Oi pessoal, tudo tranquilo?
O enunciado deu um formato de problema de valor inicial e perguntou se é verdade que ele admite uma única solução.
Existe o teorema da existência e da unicidade de soluções de um problema de valor inicial. Esse teorema nos diz que, uma vez que tenham sidas satisfeitas todas as etapas, temos uma solução para o PVI e ela é única.
Vamos usar esse teorema pois o exercício nos deu um problema de valor inicial e questionou quando a existência e unicidade da solução para ele. Então a ideia aqui é testar as condições do teorema para saber se a solução existe e se ela é única. Beleza?
Bom, precisamos então lembrar das etapas do teorema da Existência e da Unicidade:
E se algum ou alguns itens não forem satisfeitos?
Se algumas dessas condições não forem satisfeitas, o PVI pode ou não ter solução, e em caso de haver solução, essa pode ser única ou várias.
Então para que a afirmativa do enunciado seja verdadeira, nenhum desses 4 passos pode falhar!
Passo 2
Agora vamos fazer cada um dos passos.
O primeiro passo é isolar a derivada, ou seja, vamos reorganizar o PVI dado!
Precisamos ter a derivada isolada de um lado e jogar tudo para o outro lado, dessa forma aqui:
Fazendo e passando tudo pro outro lado:
Pronto!
Aplicando ao nosso caso, temos que , só isso que muda!
Passo 3
Agora precisamos identificar e calcular .
Aqui é o que fica à direita da equação quando isolamos a derivada
E a derivada parcial em relação à y:
Ok?! Próximo passo!
Passo 4
O próximo passo é verificar onde as funções calculadas no passo anterior são contínuas
As funções são:
Tanto o número 4 quanto os polinômios (tanto em t quanto em y) são funções contínuas em todos os reais, ou seja, não existe valor de ou que eu coloque ali nessas funções que vá dar alguma indeterminação (tipo raiz de índice par de número negativo, divisão por zero, essas coisas...)
Então elas são contínuas em todo , que é o maior conjunto que podemos ter.
Próximo passo!
Passo 5
O último passo é escolher um intervalo para e outro para onde as funções do passo 2 do teorema são contínuas e que contenham a condição inicial.
Como as funções são continuas em qualquer intervalo, vamos escolher um intervalo perto dos pontos da condição inicial.
A condição inicial é:
Então precisamos que o intervalo de contenha e que o intervalo de contenha o . Então uma possibilidade é:
Lembrando que esses intervalos são abertos (vamos usar apenas, e não ) e os intervalos não precisam ser iguais. Podem ser iguais, mas não precisam.
Então chegamos ao ponto 4 satisfazendo todas as etapas anteriores! Nenhum dos passos falhou!
Pronto, sabemos que esse PVI possui solução e mais, sabemos que essa solução é única!
Logo a afirmativa está correta! É verdadeiro.