O problema de valor inicial y' + 4y = t^2, y(0) = 1 admite uma única solução.

Escolha uma opção:

Verdadeiro ou falso?

Passo 1

Oi pessoal, tudo tranquilo?

O enunciado deu um formato de problema de valor inicial e perguntou se é verdade que ele admite uma única solução.

Existe o teorema da existência e da unicidade de soluções de um problema de valor inicial. Esse teorema nos diz que, uma vez que tenham sidas satisfeitas todas as etapas, temos uma solução para o PVI e ela é única.

Vamos usar esse teorema pois o exercício nos deu um problema de valor inicial e questionou quando a existência e unicidade da solução para ele. Então a ideia aqui é testar as condições do teorema para saber se a solução existe e se ela é única. Beleza?

Bom, precisamos então lembrar das etapas do teorema da Existência e da Unicidade:

E se algum ou alguns itens não forem satisfeitos?

Se algumas dessas condições não forem satisfeitas, o PVI pode ou não ter solução, e em caso de haver solução, essa pode ser única ou várias.

Então para que a afirmativa do enunciado seja verdadeira, nenhum desses 4 passos pode falhar!

Passo 2

Agora vamos fazer cada um dos passos.

O primeiro passo é isolar a derivada, ou seja, vamos reorganizar o PVI dado!

Precisamos ter a derivada isolada de um lado e jogar tudo para o outro lado, dessa forma aqui:

y ' + 4 y = t 2

Fazendo y ' = d y d t e passando tudo pro outro lado:

d y d t = t 2 - 4 y

Pronto!

Aplicando ao nosso caso, temos que x = t , só isso que muda!

Passo 3

Agora precisamos identificar f ( t , y ) e calcular ∂ f ∂ y .

Aqui f t , y é o que fica à direita da equação quando isolamos a derivada

f t , y = t 2 - 4 y

E a derivada parcial em relação à y:

∂ f ∂ y = - 4

Ok?! Próximo passo!

Passo 4

O próximo passo é verificar onde as funções calculadas no passo anterior são contínuas

As funções são:

f t , y = t 2 - 4 y

∂ f ∂ y = - 4

Tanto o número 4 quanto os polinômios (tanto em t quanto em y) são funções contínuas em todos os reais, ou seja, não existe valor de t ou y que eu coloque ali nessas funções que vá dar alguma indeterminação (tipo raiz de índice par de número negativo, divisão por zero, essas coisas...)

Então elas são contínuas em todo R , que é o maior conjunto que podemos ter.

Próximo passo!

Passo 5

O último passo é escolher um intervalo para t e outro para y onde as funções do passo 2 do teorema são contínuas e que contenham a condição inicial.

Como as funções são continuas em qualquer intervalo, vamos escolher um intervalo perto dos pontos da condição inicial.

A condição inicial é:

y 0 = 1

Então precisamos que o intervalo de t contenha 0 e que o intervalo de y contenha o 1 . Então uma possibilidade é:

- 1 < t < 1

- 3 < y < 3

Lembrando que esses intervalos são abertos (vamos usar < o u > apenas, e não ≤ o u ≥ ) e os intervalos não precisam ser iguais. Podem ser iguais, mas não precisam.

Então chegamos ao ponto 4 satisfazendo todas as etapas anteriores! Nenhum dos passos falhou!

Pronto, sabemos que esse PVI possui solução e mais, sabemos que essa solução é única!

Logo a afirmativa está correta! É verdadeiro.

Resposta

v e r d a d e i r o

Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

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