Exercícios Resolvidos de Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

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Enunciado

Determine, por inspeção, duas soluções para o problema de valor inicial dado.

x d y d x = 2 y ,   y 0 = 0

Passo 1

O que estamos procurando aqui são duas soluções para EDO!

Primeiro, vamos relembrar uns conhecimentos úteis de derivada. Lembra que a derivada de uma constante é zero?

Como ele quer que y 0 = 0 parece justo tentarmos a solução y = 0 . Vamos testar.

x d y d x = x . 0 = 0

2 y = 2.0 = 0

Só alegria. Provamos que y = 0 é solução.

Passo 2

Vamos caçar outra solução agora. Fuçando nos nossos conhecimentos de derivada podemos lembrar que a derivada de uma função:

y = b x a

É:

d y d x = b a x a - 1

Podemos perceber que se multiplicarmos   d y d x por x obteremos:

x d y d x =   b a x a

Que tem o mesmo grau de y . Vamos testar essa solução no nosso problema.

b a x a = 2 b x a

a = 2

Pelas nossas contas obtemos que a função y = b x 2 pra qualquer constante b é solução do nosso problema.

Como a questão pede só duas soluções, vamos usar y = x 2 .

Resposta

y = 0 ,           y = x 2

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