UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 3 – Questão 9
Existem problemas de valor inicial da forma , que possuem mais de uma solução.
Escolha uma opção:
Verdadeiro ou falso.
Passo 1
Oi pessoal, tudo tranquilo?
O enunciado deu um formato de problema de valor inicial e perguntou se é verdade que nesse formato o PVI possui mais de uma solução.
Existe o teorema da existência e da unicidade de soluções de um PVI. Esse teorema nos diz que, uma vez que tenham sidas satisfeitas todas as etapas, temos apenas uma solução para o PVI.
Eu pensei em usar esse teorema pois o exercício nos deu um problema de valor inicial e questionou quanto à existência e unicidade da solução para ele. Então a ideia aqui é testar as condições do teorema para saber se a solução existe e se ela é única. Beleza?
Como o teorema garante que, uma vez satisfeitas as etapas, teremos apenas uma solução, então para haver mais de uma solução, precisamos que alguma ou algumas etapas falhem.
Passo 2
Agora vamos ao teorema!
Bom, precisamos lembrar o que nos diz o teorema da Existência e da Unicidade:
Seja um PVI na forma:
As etapas são:
Aplicando isso ao nosso caso, temos que , só isso que muda!
Relembrando que precisamos que alguma ou algumas dessas etapas falhem para que o enunciado esteja correto.
Certo?
Agora vamos fazer cada um dos passos.
- Isolar a derivada
- Identificar e calcular .
Já temos, próximo passo!
Opa! Aqui não conseguimos identificar quem é a função! Ou seja, ela pode ser qualquer coisa! Inclusive funções em que em algum ponto não existam, como por exemplo:
Em essa função não está definida, pois teríamos uma divisão por zero. Então, falhamos nessa etapa!
Ok?!
Passo 3
Como falhamos nessa etapa, podemos dizer que existem sim sistemas do tipo
Com condição inicial que admitem várias soluções, já que sabemos que o teorema de existência e unicidade não foi satisfeito.
Logo a afirmativa está correta! É verdadeiro.