Um bloco de massa m = 2   k g , preso a duas molas idênticas, com comprimentos naturais iguais a l 0 = 0,5   m e constantes elásticas iguais a k = 400   N / m , estão dentro de um recipiente com um líquido, cujo coeficiente de atrito viscoso vale ρ = 80   k g / s . Uma força harmônica de amplitude F 0 = 100   N   e frequência angular ω = 10   r a d / s atua sobre o bloco ao longo da direção horizontal. O atrito entre o bloco e o fundo do recipiente é desprezível. Usando o referencial da figura, determine:

A solução da equação de movimento no regime estacionário, em função de t , considerando x e q = 0   m :

(a) x t = 0,1 cos ⁡ [ 10 t - arctan ⁡ ( 4 / 3 ) ]   m

(b) x t = 1 cos ⁡ [ 20 t - arctan ⁡ ( 4 / 3 ) ]   m

(c) x t = 0,1 cos ⁡ [ 10 t - arctan ⁡ ( 2 / 3 ) ]   m

(d) x t = 1 cos ⁡ [ 10 t - arctan ⁡ ( 4 / 3 ) ]   m

(e) x t = 0,1 cos ⁡ [ 20 t - arctan ⁡ ( 2 / 3 ) ]   m

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um arranjo com duas molas que tem comprimentos naturais e constantes elásticas iguais, essas molas estão presas a um bloco e os três objetos estão dentro de um recipiente com um líquido de atrito viscoso. Então, nós temos uma força harmônica e uma frequência angular que age sobre o bloco e nós queremos determinar a solução da equação de movimento no regime estacionário.

Mas o quê que isso quer dizer? Lembra do movimento harmônico amortecido? Nele a gente tem uma força de amortecimento que “atrapalha” a oscilação do sistema. No nosso caso, essa força é a força viscosa do fluido. Mas além disso, nós também temos uma força externa que afeta a oscilação. Então, nós temos um sistema com oscilador forçado e amortecido.

Quê isso interfere nos cálculos da equação do movimento? Interfere em tudo rs. Porque nós temos que considerar todas as forças que estão atuando no sistema. Nesse caso, temos a força viscosa ρ x ˙ , a força externa oscilatória que é definida como F 0 cos ⁡ ( ω t ) e a força elástica igual a k x .

Usando a segunda Lei de Newton ( F = m x ¨ ), o somatório dessas forças nos fornece a equação:

m x ¨ + ρ x ˙ + k x = F 0 cos ⁡ ( ω t )

Repare que essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea, e representa a equação do movimento harmônico forçado e amortecido. Pra encontrar uma solução para essa EDO precisamos descobrir uma solução para a parte homogênea, x h ( t ) , e uma solução particular x p ( t ) . Só que para tempos longos, a solução da equação homogênea vai tender a zero, então, a solução dessa equação diferencial vai ser expressa da seguinte maneira:

x t = A ω cos ⁡ ω t + ϕ ( ω )

Onde ω indica a frequência da força externa, e tanto A (que é a amplitude de oscilação) e ϕ (que é a fase) dependem de ω . Esses parâmetros são dados por:

A ω = F 0 m ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

E

ϕ ω = - arctan ⁡ γ ω ω 0 2 - ω 2

A dedução dessas equações é bem complicadinha, porque envolve alguns conhecimentos de EDO’s não homogênea e o conhecimento dos parâmetros físico que a gente tá considerando. Mas o importante pra gente, nesse caso, é apenas descobrir o valor de A e ϕ no sistema, pra obter uma solução da equação de movimento no regime estacionário.

Então, vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos deu a frequência da força externa ω = 10   r a d / s e a força externa F 0 = 100   N , que atuam sobre o bloco de massa m = 2   k g . γ é definido pela razão entre o coeficiente de atrito viscoso ρ = 80   k g / s e a massa, então:

γ = ρ m = 80   k g / s 2   k g = 40   s - 1

Além disso, no caso do sistema massa mola, a frequência dos sistema, ω , é igual a k / m e k = 400   N / m . Logo:

ω 0 = 2 k m = 400 N m 2   k g = 20   r a d / s

Substituindo esses dados na equação da amplitude, temos:

A ω = F 0 m ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

A ω = 100 2 20 2 - ( 10 ) 2 2 + ( 40 ) 2 ( 10 ) 2 = 50 400 - 100 2 + ( 1600 ) ( 100 )

Colocando o denominador em notação científica:

A ω = 50 9 ∙ 10 4 + 16 ∙ 10 4 = 50 25 ∙ 10 4

Tirando a raiz no denominador:

A ω = 50 5 ∙ 10 2

Logo, nossa amplitude será:

A ( ω ) = 0,1   m

Passo 3

Agora calculando a fase de oscilação, por meio da expressão:

ϕ ω = - arctan ⁡ γ ω ω 0 2 - ω 2

Nós temos γ = 40   s - 1 , ω 0 = 20   r a d / s e ω = 10   r a d / s . Substituindo na equação:

ϕ ω = - arctan ⁡ ( 40 ) ( 10 ) 20 2 - 10 2

ϕ ω = - arctan ⁡ 400 400 - 100

Logo, temos:

ϕ ω = - arctan ⁡ 4 3

Passo 4

Conhecendo   A ω = 0,1   m   e   ϕ ω = - arctan ⁡ 4 3 e ω = 10   r a d / s podemos determinar a solução da equação de movimento no regime estacionário em função de t :

x t = A ω cos ⁡ ω t + ϕ ( ω )

Substituindo os valores na equação:

x t = 0,1 cos ⁡ ( 10 t - arctan ⁡ ( 4 / 3 ) ]   m

Que é a alternativa (A).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x t = 0,1 cos ⁡ ( 10 t - arctan ⁡ ( 4 / 3 ) ]   m

Exercícios Resolvidos de Força Elástica

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