8. Uma corda de comprimento L e densidade μ = 0,25   k g / m , com ambas as extremindades ficas, oscila no quarto harmônico de uma onda estacionária de acordo com a seguinte equação:

y = 0,20 sin ⁡ π x sin ⁡ 24 π t

Onde x = 0 numa das extremindades da corda ( x é dado em metros e t em segundos).

Qual deve ser a tensão T aplicada na corda para que ela oscle no segundo harmônico?

OBS: Adote que o valor de ω não se altera.

(a) T = 576   N

(b) T = 476   N

(c) T = 1152   N

(d) T = 144   N

(e) T = 1052   N

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui nós temos uma questão de ondas, que é quase uma aplicação direta de fórmula.

A gente tem uma corda de comprimento L e a equação da onda, e precisamos achar a tensão T , sabendo que ela oscila no segundo harmônico.

A gente consegue relacionar o comprimento da corda com o comprimento de onda através da relação:

λ n = 2 L n

E para achar o comprimento a onda, temos que olhar para equação geral de uma onda,

y n x ,   t = A n sin ⁡ k n x cos ⁡ ω n t + δ n

Comparando com a equação dada, temos que

k 4 = π

ω 4 = 24 π

δ = - π 2

Com isso, temos que os modos normais de vibração ficariam

k n = 2 π λ n → λ 4 = 2 π π = 2   m

E

L = n λ n 2 → L = 4 2 2 = 4   m

Com esses dados podemos calcular a tensão T .

Bora lá!

Passo 2

Para começar, temos que lembrar que no segundo harmônico, o comprimento da corda é igual ao comprimento da onda:

λ 2 = 2 L 2 = 4   m

Também vamos precisar calcular o nosso k 2

k 2 = 2 π λ 2 = 2 π 4 = π 2   m - 1

Passo 3

Por im, podemos calcular a velocidade da onda:

v 2 = ω k 2 = T μ

Isolando T

T = μ   ω k 2 2

Substituindo os dados,

T = 0,25 24 π π 2 2 = 576   N

Prontinho!

Resposta

Letra A

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