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Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

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Exercício 312456789101112131415161718192021222324252627282930

Enunciado

  1. Verifique a paridade da função f ( x ) :

    2. f x = x - 1 2

  2. Calcule g ( x ) :

    3. g x = f x + f ( - x )

  3. Verifique a paridade da função g ( x ) .

Passo 1

a) Bom, o primeiro passo é analisar f ( x ) . Para isso, calculamos f ( - x ) :

f - x = - x - 1 2  

f - x = [ ( - 1 ) ( x + 1 ) ] 2

f - x = - 1 2 x + 1 2

f - x = x + 1 2

Passo 2

Não é muito trivial verificar as condições de paridade agora – isto é, comparar f ( - x ) com f ( x ) . Se preferir, podemos abrir as expressões:

f x = x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1

f - x = x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1

E a verdade é que f - x ≠ f ( x ) e f - x ≠ - f ( x ) . Ou seja, a função f não é par nem ímpar!

Passo 3

b) Agora vamos obter g ( x ) usando as expressões abertas do passo 2:

g x = f x + f - x

g x = x 2 - 2 x + 1 + x 2 + 2 x + 1

g x = 2 x 2 + 2

Passo 4

c) Agora observamos que

g - x = 2 - x 2 + 2

g - x = 2 x 2 + 2

g - x = g ( x )

E, portanto, a função g é par!

Resposta

  1. f ( x ) não tem paridade.
  2. g x = 2 x 2 + 2
  3. g ( x ) é par.

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