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Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

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Enunciado

UFES, Cálculo I, Lista 1, 2018.1, questão 44

Nos exercícios 31 a 46 esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar).

44. f x = | x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 | x - 2

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinhooo?

Vamos plotar o gráfico desta função. Para desenhar, devemos reescrever a função.

f x = | x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 | x - 2

Para isso vamos encontrar suas raízes fatorando

x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 = ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x - 4 )

Então nossa função pode ser reescrita como

f x = | ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x - 4 ) | x - 1

Passo 2

Nossa função fora do módulo será

f x = - ( x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 ) x - 1 ,             s e   x < 0 x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 x - 1 ,                   s e   x ≥ 0

Que pode ser escrita de outra forma

f x = - ( ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x - 4 ) ) x - 1 ,             s e   x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x - 4 ) x - 1 ,                   s e   x ≥ 0

Passo 3

Agora vamos estudar o sinal da função

Para x < - 1

x + 1 < 0 x - 2 < 0 x - 4 < 0 ⇒ x + 1 x - 2 x - 4 < 0

Para - 1 < x < 2

x + 1 > 0 x - 2 < 0 x - 4 < 0 ⇒ x + 1 x - 2 x - 4 > 0

Para 2 < x < 4

x + 1 > 0 x - 2 > 0 x - 4 < 0 ⇒ x + 1 x - 2 x - 4 < 0

Para x > 4

x + 1 > 0 x - 2 > 0 x - 4 > 0 ⇒ x + 1 x - 2 x - 4 > 0

Nosso gráfico então será:

Passo 4

Vamos agora determinar o domínio e a imagem da função dada no enunciado.

Lembre-se que:

Domínio: são os valores possíveis de x   para esta função;

Imagem: são os valores possíveis de y   para esta função;

Bom, o domínio desta função será de acordo com o denominador da função, que precisa ser diferente de zero, já que não podemos fazer divisão por zero.

x - 2 ≠ 0

x ≠ 2

Logo

D m = R - { 2 }

Já a imagem será os valores de y para os quais a função existe, ou seja, todos os reais.

I m = R

Passo 5

Por fim, vamos verificar a paridade da função.

Uma função será par se: f - x = f ( x )

Uma função será ímpar se: f - x = - f ( x )

Vamos verificar na nossa função?

Esta função não obedece às condições acima, pois como podemos observar pelo seu gráfico, esta função não possui simetria em relação a origem. Logo, classificamos como função nem par nem ímpar.

Até mais!

Resposta

D m = R - { 2 }

I m = R

A função não é par nem ímpar

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