Sejam f uma função definida em R. Mostre que as funções

g(x) = 1 / 2 [ f(x) + f(-x) ] e h(x) = 1/2 [ f(x) - f(-x) ]

são funções, respectivamente, par e ímpar. Em seguida, mostre que toda função com domínio R pode ser escrita com soma de uma função par com uma função ímpar.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que mostrar que g ( x ) e h ( x ) são funções par e ímpar, ou seja,

g x = g ( - x ) e h x = - h ( - x )

Além disso, temos que mostrar que toda função com domínio R pode ser escrita com soma de uma função par com uma função ímpar.

Vem comigo!

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que g x = g ( - x ) , temos que

g - x = 1 2 f - x + f x = 1 2 f x + f - x = g ( x )

Então, mostramos que g ( x ) é uma função par.

Passo 3

Agora vamos mostrar que h x = - h ( - x ) , temos que

h - x = 1 2 f - x - f x = - 1 2 f x - f - x = - h ( x )

Assim,   m o s t r a m o s   q u e   h ( x )   é   u m a   f u n ç ã o   í m p a r .

Passo 4

Para mostrar que toda função com domínio R pode ser escrita com soma de uma função par com uma função ímpar, vamos somar a função par g ( x ) coma função ímpar h ( x )

g x + h x = 1 2 f x + f - x + 1 2 f x - f - x = 1 2 2 f x = f ( x )

Então,

f x = g x + h ( x )

Como f uma função definida em R, mostramos que toda função com domínio R pode ser escrita com soma de uma função par com uma função ímpar.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da resolução.

Exercícios Resolvidos de Funções Pares e Ímpares

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