Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Passo 1

Bom, o enunciado dá a expressão da derivada e pede a y . Então precisamos integrar aquela derivada. Relaxa, que daqui a pouco a gente vai usar o ponto que ele deu.

y ' x = e 1 x x 2

Integrando ambos os lados com respeito a x :

y x = ∫ e 1 x x 2 d x

Passo 2

Vamos utilizar o método da substituição para resolver essa integral. Perceba que:

d 1 x d x = - 1 x 2

Que é bem parecido com o que temos ali. Então seria justo:

u = 1 x → d u = - 1 x 2 d x

Passo 3

Substituindo na integral:

∫ e 1 x x 2 d x = - ∫ e u d u

Passo 4

Resolvendo a integral:

- ∫ e u d u = - e u + C

Passo 5

Lembrando de algo MUITO IMPORTANTE! u foi uma variável que você criou, então precisamos voltar para a variável do problema, ok?

u = 1 x

- e u + C = - e 1 x + C

Prontinho! Agora tá certinho. 😊

Passo 6

O que encontramos até agora foi uma família de funções que tem a derivada igual àquela dada no enunciado.

Finalmente, vamos usar aquela informação do ponto ( 1 , 0 ) pertencer à função para descobrirmos o valor da constante C .

y 1 = 0

y x = - e 1 x + C

y 1 = 0 → - e + C = 0 → C = e

Então a função procurada é:

y x = - e 1 x + e

Resposta

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