UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.1 – Questão 6
Utilize o exercício anterior para concluir que se um objeto possui função velocidade e posição inicial , então sua função posição é dada por .
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema nos disse para usar o resultado do item anterior, então espera aí que vou lá buscar o resultado:
A equação diferencial:
Tem como solução:
Ou seja, derivando a solução, teremos Mas o que podemos usar daqui nesse exercício?
Bom, sabemos que a velocidade de um corpo é a derivada da posição em relação ao tempo:
Então a ideia aqui é integrar a velocidade, aplicar a condição inicial de e encontrar a solução dada!
Mas relaxa, vamos fazer, juntos, passo a passo!
Passo 2
Voltando à velocidade instantânea de uma partícula:
O que podemos fazer é multiplicar por dos dois lados e integrar a partir do instante até um instante :
Do lado direito, podemos identificar que no integrando é uma variável muda, ou seja, ela serve apenas para integrarmos a função. Já aquele no limite superior é um instante qualquer. Então para evitar confusão, vou trocar o do integrando por , ok?
Já do lado direito, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo: a derivada da integral, ou a integral da derivada é a própria função de dentro aplicada nos limites:
Sendo assim temos a posição em função da integral da velocidade:
E é isso que o problema pediu para mostrarmos!
Beleza?
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?