UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 1b
Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial para cada uma das equações abaixo:
, com a condição inicial
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Queremos resolver a seguinte equação diferencial
e, devemos aplicar a condição inicial . Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável, pois podemos escrevê-la no seguinte formato
separável, pois, é possível deixar em um lado e no outro, da seguinte maneira
Então o trabalho está em resolver a integral em ambos os lados! Bora lá!
Passo 2
Integrando dos dois lados temos que
O lado direito pode ser resolvido diretamente como
já que é a soma simples de um infinitesimal. O lado esquerdo no entanto, é um pouco mais problemático, nós temos a seguinte integral
Aqui, será conveniente usar o método de frações parciais! Vamos partir daí!
Passo 3
O método de frações parciais indica que podemos separar a fração no integrando como
Se multiplicarmos ambos os lados por , temos que
Juntando todos os termos constantes e todos os termos acompanhados de , temos que
Para encontrar os valores de e , temos que garantir que os coeficientes de e os termos independentes de ambos os lados da equação acima sejam iguais, portanto, é direto observar que
e, também que
e, portanto, temos que . A nossa fração toma então a seguinte forma
Vamos usar isso para resolver a nossa integral! Vamos lá!
Passo 4
Temos que calcular a seguinte integração
Podemos usar a seguinte identificação
portanto, reescrevendo um pouco as nossas integrais
podemos identificar as primitivas como
vamos usar isso para encontrar a solução da nossa equação diferencial!
Passo 5
Usando o resultado que calculamos no passo anterior, temos que a equação diferencial tem o seguinte formato
usando propriedades do logaritmo podemos escrever o lado esquerdo como
Aplicando a função exponencial de ambos os lados, temos que
onde chamei . Vamos precisar isolar explicitamente antes de aplicar a condição inicial dada! Bora lá!
Passo 6
Multiplicando os dois lados da equação por , temos que
se passarmos todos os termos com para o lado esquerdo, obtemos que
Colocando em evidência e isolando, obtemos
Maravilha! Agora, usando que , podemos tentar isolar a constante !
Passo 7
Temos que
Multiplicando os dois lados por , temos
Portanto, temos que
Portanto, , e a solução se torna simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!