Seja uma função tal que para todo . Sabendo que é um ponto de máximo local do gráfico da função , determine:
- A expressão de (a derivada de )
- A expressão da função
Passo 1
Vamos lá. A questão ta querendo que a gente ache a primeira derivada na letra e dá pra gente a segunda. Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que:
Então é isso aí galera, vamos ter que integrar. A primeira derivada fica então como a seguinte integral:
Dá regra:
Tiramos que essa integral dá:
Opa, mas e esse aí, quem vai ser? Bem, pra gente responder, temos que olhar com cuidado pra uma informação do enunciado: o ponto ! Se esse ponto é um ponto de máximo, então ele é um ponto crítico! E em pontos críticos, temos:
Sendo assim, vamos ter:
O que dá:
A expressão final da primeira derivada vai ser então:
Passo 2
Agora vamos pra próxima letra, que pede dessa vez o gráfico de . A ideia é a mesma galera, veja bem, pelo teorema fundamental do cálculo:
Então a função vai ser definida pela integral:
Usando a mesma regra:
Ficamos com:
E vai faltar só achar o agora, que é outra constante de integração. Bem, como o enunciado diz que o ponto é um ponto da curva, vamos ter então:
Oras, só substituir! Vamo que vamo que depois é só partir pro abraço:
A expressão final de vai ser então: