2b) Determine a função F : IR → IR que cumpre:

F'(x) = (1 - x^2) / (1 + x^2); F(1) = pi / 2

Passo 1

Como a questão quer que a gente determine F x e temos F ' x , vamos ter que integrar. Isso porque:

F x = ∫ F ' x   d x

Sendo assim, temos:

F x = ∫ 1 - x 2 1 + x 2   d x

Pra fazer essa integral, como 1 + x 2 não possui raízes nem nada, não vai rolar frações parciais. Vamos então mexer um pouco nessa integral:

F x = - ∫ - 1 + x 2 1 + x 2   d x

Ok, ainda não ajudou muito. Mas ainda podemos fazer uma coisa que vai ajudar bastante: somar e subtrair por 2 no numerador. Isso até parece que não dá em nada, mas saca só a malandragem:

F x = - ∫ - 1 + x 2 + 2 - 2 1 + x 2   d x

F x = - ∫ 1 + x 2 - 2 1 + x 2   d x

F x = - ∫ 1 + x 2 1 + x 2   d x - ∫ 2 1 + x 2   d x

F x = - ∫ 1   d x - ∫ 2 1 + x 2   d x

F x = ∫ 2 1 + x 2   d x - ∫ 1   d x

O que finalmente, nos resulta em:

F x = 2 ∫ 1 1 + x 2   d x - ∫ 1   d x

E porque esse resultado é bom? Bem, são integrais de resolução direta! Vamos ter então que:

F x = 2 arctan ⁡ x - x + C

Passo 2

Ainda não acabou em! Conseguimos integrar, mas apareceu uma constante de integração danada. Como a questão quer F x definida, não podemos responder C assim, temos que achar seu valor! Só que como:

F 1 = π 2

Podemos substituir:

F 1 = 2 arctan ⁡ 1 - 1 + C = π 2

O arco cuja tangente é 1 é o arco com valores de seno e cosseno iguais em! E quem é esse se não 45 º = π 4 ? Usando o valor em radianos então:

2 ∙ π 4 - 1 + C = π 2

π 2 - 1 + C = π 2

- 1 + C = 0

C = 1

E portanto, definimos F x como:

F x = 2 arctan ⁡ x - x + 1

Resposta

F x = 2 arctan ⁡ x - x + 1

Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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