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Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Exercício 4123567891011121314151617181920212223

Enunciado

Um tanque com água está enchendo a uma taxa de:

d V d t = 2 5 e - 5 t

Em litros/minuto. Determine a expressão do volume de água no tanque se V 0 = 5 litros.

Passo 1

Veja que temos aqui uma derivada, também o valor da função correspondente num ponto e queremos a função num ponto.

Apesar de não aparecer tudo bonitinho dentro de uma chave, este problema tem todas as características é um PVI. Também pode ser escrito como os problemas que vimos anteriormente:

d V d t = 2 5 e - 5 t V 0 = 5

Então vamos lá. Primeiro, separamos os infinitesimais: d V = 2 5 e - 5 t d t

Passo 2

Agora, aplicamos a integral dos dois lados:

∫ d V = ∫ 2 5 e - 5 t d t

A integral da esquerda é: ∫ d V = V + C 1

A integral da direita será: ∫ 2 5 e - 5 t d t = 2 5 ∫ e - 5 t d t

Como u = - 5 t e, consequentemente, d u = - 5 d t :

2 5 ∫ e - 5 t d t = 5 ∫ e u d u = - 5 e u + C 2 = - 5 e - 5 t + C 2

Passo 3

Substituindo na equação:

∫ d V = ∫ 2 5 e - 5 t d t

V + C 1 = - 5 e - 5 t + C 2

Isolando V e considerando C = C 2 - C 1 :

V = - 5 e - 5 t + C 2 - C 1

V = - 5 e - 5 t + C

Passo 4

Vamos descobrir um valor de C que garante solução para o problema. Usando a segunda informação:

V 0 = - 5 e - 5 ⋅ 0 + C = - 5 + C = 5

C = 10

Assim, substituindo, temos:

V = 5 2 - e - 5 t

Em litros.

Resposta

V = 5 2 - e - 5 t

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