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Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Considere o PVI (Problema de Valor Inicial) dado por:

y ' = 2 y - 2 x + 1 y 0 = 2

  1. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da solução do PVI em x = 0 . Dica: Neste item não é necessário resolver o PVI.
  2. Encontre uma função real u = u x tal que y x = u x   e x + x seja solução do PVI

Passo 1

Bora lá. Pra começar, vamos destrinchar o enunciado. Quando ele pede a solução do PVI ele ta pedindo nada mais nada menos que a lei de formação de y = y x . Na letra a , o que ele quer é o coeficiente angular da tangente de y em torno de x = 0 . Ou seja, ele quer que, do modelo de reta tangente:

y = m x - x 0 + y 0

Onde P = x 0 , y 0 é ponto de tangência e m = y ' x 0 é coeficiente angular, o que a questão pede é somente:

m = y ' 0

Pra achar esse valor, vamos pegar a primeira linha do PVI e substituir todo:

  • x por 0
  • y por y 0 = 2
  • y ' por m = y ' 0

O resultado será:

y ' = 2 y - 2 x + 1

m = 2 ∙ 2 - 2 ∙ 0 + 1

m = 4 - 0 + 1

m = 5

Passo 2

Ok, agora enrolou um pouco mais. Mas fica calmo. Se:

y x = u x   e x + x

É solução, jogando ele na primeira linha do PVI temos:

u x   e x + x ' = 2 u x   e x + x - 2 x + 1

Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:

u ' x   e x + u x   e x + 1 = 2 u x   e x + 2 x - 2 x + 1

u ' x   e x = u x   e x

u ' x   = u x  

Seja:

u ' x = d   u x d x

Podemos reescrever:

d   u x d x   = u x  

d   u x u x   = d x  

E integrando dos dois lados, temos:

∫ 1 u x   d u x = ∫ 1   d x

ln ⁡ u x = x + C

u x = e x + C

Como nenhuma exponencial pode ser negativa mesmo:

u x = e x + C

u x = e C e x

Belezinha, falta só achar o valor de C . Ai fechamos e partimos pro abraço! Note que:

y 0 = 2

Então:

y 0 = u 0   e 0 + 0

y 0 = u 0 = 2

Já que sabemos disso, vamos aproveitar essa informação privilegiada!

u 0 = e 0 + C = 2

e C = 2

E fechamos! A nossa função será:

u x = 2 e x

Resposta

  1. m = 5
  2. u x = 2 e x

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