UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.1 – Questão 5
Seja f uma função integrável fixada. Mostre que é uma solução para a equação diferencial com condição inicial .
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema nos pediu para mostrar que
É solução da equação diferencial
Mas como faremos isso?
Para verificar se uma solução é solução de uma equação diferencial dada precisamos derivar essa solução e substituir na equação diferencial! Se tudo estiver certo, vamos encontrar uma igualdade do tipo , beleza?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A equação diferencial é a seguinte:
Então vamos pegar a solução dada , derivar em relação a e substituir ali do lado esquerdo, ok?
A solução dada é:
Derivando dos dois lados temos:
Do lado direito podemos dividir em duas derivadas:
O primeiro termo do lado direito é a derivada de uma constante, que sabemos vale zero.
Tranquilo?
O segundo termo é
E aqui vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo:
Beleza?
Então a derivada da nossa solução ficou:
Passo 3
Agora vamos substituir na equação diferencial dada:
Opa! Encontramos uma verdade matemática!
Mostramos assim o que o problema pediu!
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?