UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 1a
Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial para cada uma das equações abaixo:
, com a condição inicial .
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Queremos resolver a seguinte equação diferencial
e, devemos aplicar a condição inicial . Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que não é separável! Portanto, não temos muita escolha se não aplicar o método do fator integrante
em que pode ser identificado se nossa equação diferencial estiver no formato
Vamos tentar resolver isso agora! Vem comigo!
Passo 2
De cada podemos identificar que , e portanto, precisamos resolver a seguinte integral
a primitiva relacionada a esta integral é conhecida como
e, portanto, temos que
Vamos usar isso para resolver nosso problema! Saca só!
Passo 3
Vamos multiplicar toda nossa equação diferencial pelo fator integrante, temos que
Parece até mágica, mas não é! Temos que do lado esquerdo podemos identificar a seguinte derivada do produto
Eu não abri a derivada aqui, mas pode confiar que realmente é a derivada do produto. Isso sempre acontece neste tipo de questão quando se aplica o método do fator integrante. Se tiver dúvidas de como expandir a derivada, é só usar a regra do produto, a regra da cadeia e algumas derivadas conhecidas, belezinha? O lado direito pode ser simplificado como
E, portanto, a equação diferencial que precisamos resolver agora é muito mais simples, ela tem a seguinte forma
Vamos tentar resolver esta equação agora! Bora lá!
Passo 4
Se multiplicarmos toda a equação por , temos que
Podemos então identificar o diferencial do lado esquerdo, e integral dos dois lados para obter
A integral do lado esquerdo é diretamente obtida já que estamos somando um infinitesimal, do lado direito no entanto ainda teremos que mexer um pouquinho, para resumir, temos que
Lembra como se resolve esta integral do lado direito? Vamos tentar uma substituição simples!
Passo 5
Usando que e , podemos escrever a nossa integral como
como a integral da exponencial é a própria exponencial, temos que
No entanto, precisamos voltar para a variável original que é , de forma que obtemos
ou seja, a equação diferencial tem a solução dada pela expressão
ou, isolando a função , temos que
Estamos quase acabando, só precisamos aplicar a condição inicial! Vamos fazer isso!
Passo 6
Usando a condição inicial dada como , temos que
que pode ser simplificado para simplesmente
em que podemos isolar a nossa constante como
A solução da equação diferencial é então dada por
A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima jajá! Bora lá!