Q02) Considere o seguinte PVI (Problema de Valor Inicial):
- Mostre que a função não é solução do PVI. Neste item não é necessário resolver o PVI
- Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da solução do PVI em
- Resolva o PVI
Passo 1
Opa, vamos lá. Começando pela letra . Como é só pra provar que essa função não é solução, basta a gente derivar e comparar com o enunciado. Show, vamos ter então:
Usando o sugerido no enunciado, a derivada segundo o enunciado seria:
E olha, até ontem, pelo menos, essas funções eram bem diferentes:
Então ta provado que não é solução!
Passo 2
Agora pra letra , saca só: queremos o coeficiente angular da reta tangente. Oras, e isso não é nada mais do que o valor da primeira derivada no ponto de tangência? O coeficiente vai ser:
Temos tudo pra resolver isso! Sem mistério nenhum! A expressão de sabemos e o ponto de tangência ta no enunciado, e é . Bora calcular então:
Passo 3
Pra fechar com chave de ouro essa questão e partir pro abraço, basta a gente lembrar da seguinte notação:
Quer saber porque isso ajuda a gente? Olha então a sagacidade dessa manipulação:
Opa, agora é só integrar? Acertou! Integrando primeiro do lado esquerdo, a integral é bem direta ao ponto. Vamos ter:
Claro, não podemos esquecer a constante de integração! Por isso que aquele está ali. Agora, pra integral à direita, vou pedir um pouco de criatividade. Veja bem, podemos reescrever isso da seguite forma:
Opa, surgiu então um produto de funções diferentes dentro da integral. Não sei vocês mas isso me cheira a integração por partes. Como a parte do logarítimo tem preferência, ele que vou chamar de , beleza? Saca só como fica:
Derivando a primeira linha e integrando a segunda, temos:
Como a regra da integração por partes é:
A integral fica:
Constante de Integração de novo? É isso mesmo! Não podemos esquecer. Juntando esses dois resultados, temos:
Se juntarmos as duas constantes de integração e chamarmos de , tal que , acabamos simplificando a nossa vida porque ficamos com uma constante só. Sendo assim:
Multiplicando os dois lados por , temos:
Aplicando logarítimo dos dois lados, temos:
E por fim, chegamos a solução do PVI, que vai ser:
Resposta
- Se , então . Como, pelo enunciado, , teríamos