Em , considere o produto internoSeja o operador linear dado abaixo. Escreva uma das maneiras de verificar que um operador linear é ortogonal, e em seguida, utilizando essa maneira, diga se esse é um operador ortogonal.
Passo 1
Ok, vamos lá, primeiramente o que é um operador ortogonal? É aquele que a matriz que o representa em uma base ortonormal do (no caso a base canônica) é ortogonal.
Beleza, mas o que é isso de matriz ortogonal? É aquela que os vetores colunas (ou vetores linhas) formam um conjunto ortonormal.
Então, para resolver a questão é só eu achar a matriz dessa operação e verificar se as colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal de acordo com o produto interno dado!
Passo 2
A matriz de na base canônica é:
Se essa matriz é ortogonal então é um conjunto ortonormal. Ou seja:
Passo 3
Vamos então utilizar o produto interno que o enunciado nos deu para conferir isso aí:
Opa! O último produto interno não deu o resultado esperado!! Isso quer dizer que nossas colunas não formam um conjunto ortonormal, por isso nossa matriz não é ortogonal e nosso operador consequentemente também não é.
OBS: O nosso conjunto de vetores colunas é ortogonal pois o produto interno entre eles deu zero, mas não é ortonormal pois a norma de um deles não é igual a 1.
Resposta
T não é um operador ortogonal.