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Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

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Enunciado

Diga se os operadores abaixo são ortogonais:

a T : R 3 → R 3 , dado T x , y , z = 2 7 x + 6 7 y - 3 7 z , 3 7 x + 2 7 y + 6 7 z , - 6 7 x + 3 7 y + 2 7 z

b T : R 2 → R 2 , dado T x , y = x cos ⁡ θ - y sin ⁡ θ , x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ

Passo 1

a A matriz que representa T na base canônica é:

T = 2 7 6 7 - 3 7 3 7 2 7 6 7 - 6 7 3 7 2 7

Vamos ver se as linhas formam um conjunto ortonormal. Para isso precisamos que:

2 7 , 6 7 , - 3 7 , 2 7 , 6 7 , - 3 7 = 1

4 49 + 36 49 + 9 49 = 1

49 49 = 1

1 = 1

3 7 , 2 7 , 6 7 , 3 7 , 2 7 , 6 7 = 1

9 49 + 4 49 + 36 49 = 1

49 49 = 1

1 = 1

- 6 7 , 3 7 , 2 7 , - 6 7 , 3 7 , 2 7 = 1

36 49 + 9 49 + 4 49 = 1

49 49 = 1

1 = 1

Todos os vetores são normais. Vamos ver se são ortogonais também!

Passo 2

2 7 , 6 7 , - 3 7 , 3 7 , 2 7 , 6 7 = 0

6 49 + 12 49 - 18 49 = 0

0 = 0

3 7 , 2 7 , 6 7 , - 6 7 , 3 7 , 2 7 = 0

- 18 49 + 6 49 + 12 49 = 0

0 = 0

2 7 , 6 7 , - 3 7 , - 6 7 , 3 7 , 2 7 = 0

- 12 49 + 18 49 - 6 49 = 0

0 = 0

As linhas formam um conjunto ortonormal, então T é um operador ortogonal.

Passo 3

b A matriz que representa T na base canônica é:

T = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Vamos verificar as colunas:

cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ = 0

- sin ⁡ θ cos ⁡ θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

0 = 0

cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , cos ⁡ θ , sin ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

1 = 1

- sin ⁡ θ , cos ⁡ θ , - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ = 1

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

1 = 1

As colunas formam um conjunto ortonormal, logo, T é um operador ortogonal.

Resposta

a Sim

b Sim

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