UFES. Álgebra Linear. Prova 3 Manhã. 2017.2. Questão 4A.
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas.
(a) Sejam , vetores do espaço munido de produto interno . Se é ortogonal a , então .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Para resolver essa questão temos que compreender algumas propriedades de vetores ortogonais, soma de vetores e produto interno.
O principal objetivo dessa questão é determinar se a afirmação de que dado dois vetores e , se é ortogonal a , então .
Vetores ortogonais podem ser verificados sem muitos mistérios, quando o produto interno entre eles é igual a zero.
Também precisamos saber que o módulo de um vetor é calculado a partir da raiz da soma dos quadrados de suas coordenadas componentes, por exemplo, se
Com essas informações podemos começar nossos cálculos para encontrar o resultado.
Passo 2
Vamos chamar o vetor de e o vetor de .
Agora vamos verificar a afirmação de que quando for ortogonal a
Lembrando que dois vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é igual a zero.
Vamos calcular os vetores e .
O vetor , será
O vetor , será
Calculando o produto interno entre eles e forçando a ser igual a zero, podemos encontrar algo interessante, veja só
Resolvendo a distributiva entre os produtos, temos
Separando de um lado e do outro, temos
Tirando a raiz dos dois lados
Lembra que o módulo vetor é calculado a partir da raiz da soma dos quadrados que suas coordenadas.
Ou seja, isso que encontramos nada mais é que o módulo de é igual o módulo de !
Isso significa que a afirmação é verdadeira! Bacana né?
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
A afirmação é verdadeira