A3 T18
Suponha que é uma base ortonormal de com respeito a um dado produto interno. Seja um operador linear tal que:
é um operador ortogonal?
Passo 1
Seja um espaço vetorial, temos que o operador linear é ortogonal se a matriz que o representa em uma base ortonormal de é ortogonal.
Ele já diz pra gente que é uma base ortonormal do e já dá até a matriz da transformação na base de bandeja pra gente haha. Só precisamos verificar se é ortogonal.
Agora tem dois jeitos de fazermos isso. Para uma matriz ortogonal vale que e as colunas de linhas de formam um conjunto ortonormal. Vamos fazer dos dois jeitos e você vê qual gosta mais!
Passo 2
Definindo
Se for ortogonal, então e temos que:
Como deu a matriz identidade, temos que e portanto é ortogonal, o que implica em ser ortogonal.
Passo 3
Da outra forma agora, temos que os vetores coluna de são:
De olho dá pra ver que os vetores são normais. Falta saber se são ortogonais também:
As colunas de formam um conjunto ortonormal, portanto é ortogonal, o que implica em ser ortogonal.
Resposta
Sim