UFPE, PF-2019.2
Considere a transformação linear dada por
- é auto-adjunto? Justifique.
- é ortogonal? Justifique.
Passo 1
Show de bolinhas meus amores, primeiro de tudo vamos escrever essa transformação, na forma de uma matriz. Saca só, temos que:
Ou seja, podemos reescrever como:
Logo, nossa matriz na base canônica pode escrita como:
Passo 2
Iradoso, então agora na letra (a), a gente quer saber se essa matriz representa um operador auto-adjunto, ou seja uma transformação tal que:
MAAASSS, como a gente é sagaz desde menor, não vamos precisar provar essa coisa feia, porque uma das propriedades de operadores auto-adjuntos é que toda matriz simétrica é uma matriz auto-adjunta. E se a gente olhar com muito carinho pra nossa matriz
Vemos que ela é uma matriz simétrica. Portanto é auto-adjunto.
Passo 3
Belezera galerinha, agora na letra (b) queremos saber se é uma matriz ortogonal. E pra ser uma matriz ortogonal as colunas distintas devem ser ortogonais entre si, e além disso, o módulo de cada coluna deve ser igual a , ou seja, precisamos de colunas ortonormais para que nossa matriz seja ortogonal.
Xuxu beleza, sabendo disso, vamos testar a primeira propriedade sobre a ortogonalidade entre as colunas. Para que as colunas sejam ortogonais, o produto interno entre elas deve ser nulo. Então para as duas primeiras colunas temos que:
Logo, as duas primeiras são ortogonais entre si. E testanto para as outras combinações entre colunas, temos que:
Portanto as colunas da matriz são ortogonais entre si. Então agora bora ver o módulo dessas colunas.
Passo 4
Pra calcular o módulo de um vetor qualquer, fazemos:
Então para o produto interno usual, temos que:
Iradoso, agora que já sabemos os segredos mais íntimos da álgebra, vamos calcular o módulo das colunas de , para a primeira, temos:
Beleuza, para segunda coluna, teremos:
E por fim para a terceira coluna, obtemos:
Portanto além das colunas serem ortogonais entre si, elas também possuem o módulo igual a , fazendo com que as colunas sejam ortonormais, e em consequência disso, podemos chamar nossa matriz , de uma matriz ortogonal.
Resposta
- .