Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) Dado um operador autoadjunto. Seja u o autovetor de T associado ao autovalor e seja v o autovetor de T associado ao autovalor Então .
(b) Dados temos que:
(c) Considere com produto interno tal que então é uma base ortonormal.
Passo 1
(a) Como T é um operador autoadjunto, a matriz que representa a transformação T é simétrica.
Lembra do teorema espectral?? Então, ele nos diz que se a matriz T é simétrica, então ela possui uma base de autovetores ortogonais, com cada autovetor associado a um autovalor distinto.
Como foi dito que é autovetor associado a e v é autovetor associado a (autovalores distintos!!) então u e v tem que ser ortogonais.
Logo:
E a afirmação é falsa.
Passo 2
(b) Vamos começar lembrando que, sendo v um elemento do espaço vetorial V:
Vamos aplicar isso ao elemento u+w de V:
Agora vamos aplicar ao elemento u-w de V:
Vamos subtrair essa segunda equação da primeira. Aí temos:
Aplicando as propriedades de linearidade do produto interno:
Pela propriedade da simetria do produto interno:
Então:
Daí:
E a afirmação é falsa!
Passo 3
(c) Foi definido no enunciado um novo produto interno de tal que:
Escolhendo então os elementos e , esse produto interno pode ser dado por:
Para verificar se a base dada é ortonormal, basta verificar se o produto interno (que definimos acima) dos elementos da base é nulo!
Fazendo isso:
Como
A base não é ortonormal e a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa