Seja operador linear. Mostre que: se é operador auto-adjunto e ortogonal ao mesmo tempo e , para uma base ortonormal, então
Passo 1
Primeiramente, vamos lembrar o que quer dizer um operador ser auto adjunto e ortogonal.
Se é auto-adjunto, , ou seja, a matriz que o representa em uma base ortonormal é simétrica!
Se é ortogonal, , ou seja a matriz inversa é igual a matriz transposta.
Passo 2
Assim, como o operador tem todas essas características ao mesmo tempo, chegamos a conclusão que
Agora, vamos calcular .
Como podemos dizer que:
Mas o produto de uma matriz com a sua inversa é sempre a matriz identidade!!
Oba!! Conseguimos provar o que queríamos!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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