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Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

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Enunciado

UFPE, Álgebra Linear, 3 a EE -2017.2, Questão 3

Seja V = P 2 munido do produto interno p 1 t , p 2 ( t ) = ∫ 0 1 p 1 t p 2 t d t . Seja T um operador em V   definido por T a 0 + a 1 t + a 2 t 2 = a 1 t .

a) Mostre que T não é autoadjunto.

b) Justifique porque, embora a matriz de T   na base α = 1 , t , t 2 seja T α α = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 isso não contradiz o item anterior.

Passo 1

a) Para começar, vamos relembrar o que eu preciso para ter um operador autoadjunto. Bom, para ser autoadjunto, ele obedecer isso aqui:

T u , v = u , T ( v )

Para quaisquer dois vetores u e   v .

No nosso caso estamos falando de polinômios, então vamos testar para p 1 e p 2 , dessa forma:

T p 1 t , p 2 ( t ) = p 1 ( t ) , T ( p 2 ( t ) )

Passo 2

Para calcular isso aí, vou chamar p 1 de p 1 = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 e p 2 de p 2 = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 :  

T p 1 t , p 2 ( t ) = T a 0 + a 1 t + a 2 t 2 , b 0 + b 1 t + b 2 t 2

Temos do enunciado o resultado dessa transformação:

T a 0 + a 1 t + a 2 t 2 = a 1 t

Assim, nosso produto interno passa a ser:

a 1 t , b 0 + b 1 t + b 2 t 2

Aí é só calcular isso usando a fórmula dada para a gente, p 1 t , p 2 t = ∫ 0 1 p 1 t p 2 t d t .

a 1 t , b 0 + b 1 t + b 2 t 2 = ∫ 0 1 ( a 1 t ) ( b 0 + b 1 t + b 2 t 2 ) d t

∫ 0 1 ( a 1 b 0 t + a 1 b 1 t 2 + a 1 b 2 t 3 ) d t   = a 1 b 0 t 2 2 + a 1 b 1 t 3 3 + a 1 b 2 t 4 4 1   0

T p 1 t , p 2 ( t ) = a 1 b 0 2 + a 1 b 1 3 + a 1 b 2 4

Agora vamos para a outra parte da igualdade:

p 1 ( t ) , T ( p 2 ( t ) ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 , T ( b 0 + b 1 t + b 2 t 2 )

p 1 ( t ) , T ( p 2 ( t ) ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 , b 1 t

a 0 + a 1 t + a 2 t 2 , b 1 t = ∫ 0 1 ( a 0 + a 1 t + a 2 t 2 ) ( b 1 t ) d t

∫ 0 1 ( a 0 b 1 t + a 1 b 1 t 2 + a 2 b 1 t 3 ) d t   = a 0 b 1 t 2 2 + a 1 b 1 t 3 3 + a 2 b 1 t 4 4 1   0

T p 1 t , p 2 ( t ) = a 0 b 1 2 + a 1 b 1 3 + a 2 b 1 4

Opa, a 1 b 0 2 + a 1 b 1 3 + a 1 b 2 4 ≠ a 0 b 1 2 + a 1 b 1 3 + a 2 b 1 4 ou seja,   T p 1 t , p 2 ( t ) ≠ T p 1 t , p 2 t .   Provamos assim, que o operador não é autoadjunto

Passo 3

b) Além de um operador autoadjunto ter que satisfazer T u , v = u , T ( v ) , a matriz que o representa em uma base ortonormal deve ser simétrica.

Bom, ele diz pra gente que essa matriz vai ser:

T α α = 0 0 0 0 1 0 0 0 0

E é simétrica! Então, para não contradizer a letra a), onde achei que esse operador não é autoadjunto, preciso que a base α não seja ortonormal!

Passo 4

Vamos calcular o produto interno entre os elementos de α para testar essa hipótese:

α = 1 , t , t 2

Vou chamar p 1 t = 1 , p 2 t = t e p 3 t = t 2 e calcular:

p 1 t , p 2 ( t ) = ∫ 0 1 p 1 t p 2 t d t

1 , t = ∫ 0 1 t d t = t 2 2 1   0 = 1 2

Opa, nem preciso testar os outros, se o produto interno entre p 1 ( t ) e p 2 ( t ) não zerou, indica que a base não é ortogonal, logo, nunca vai ser ortonormal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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