Seja V um espaço vetorial munido com produto interno e um operador linear ortogonal. Se são ortogonais, podemos afirmar que ?
Passo 1
Se temos um operador T ortogonal, então:
- As linhas da matriz que representa T formam um conjunto ortonormal
- As colunas da matriz que representa T formam um conjunto ortonormal
- T preserva a norma:
- T preserva o produto interno:
Passo 2
Vamos calcular e .
Temos:
Mas o enunciado disse que e são ortogonais, isso significa que:
Mas o operador T é ortogonal, então ele preserva o produto interno:
Logo:
Fazendo a equação de cima menos a de baixo:
Resposta
Sim.
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