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Exercícios Resolvidos de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

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Enunciado

Diga se os operadores lineares abaixo são autoadjuntos:

a T : R 2 → R 2 , dado T x , y = x 2 - 3 y , 3 x + 2 y

b T : R 3 → R 3 , dado T 4 , 4 , - 2 = 2 6,30,14 , T 4 , - 2,4 = 20,6 , 2 , T 1 , - 2 , - 2 = - 1 , - 18 , - 7

c T : R 2 → R 2 , dado T x , y = U V x , y + U - 1 x , y + 7 V x , y , onde:

U : R 2 → R 2 , dado U x , y = x + y , x + y

V : R 2 → R 2 , dado V x , y = x + 2 y , 2 x + y

Passo 1

a A matriz que representa T na base canônica (ortonormal) é:

T = 1 2 - 3 3 2

Como essa matriz não é simétrica, temos que T não é autoadjunto.

Passo 2

b E agora? Vamos ter que achar a T L ? Não, não vamos! Primeira coisa, repare que o conjunto 4,4 , - 2 , 4 , - 2,4 , 1 , - 2 , - 2 é uma base do R 3 . Se liga:

4 4 - 2 4 - 2 4 1 - 2 - 2 → L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← - 4 L 3 + L 1 4 4 - 2 0 - 6 6 0 12 6 → L 3 ← L 3 + 2 L 2 4 4 - 2 0 - 6 6 0 0 18

Nenhuma linha zerou, então os vetores são L I e formam uma base do R 3 . Então só precisamos testar aquela propriedade dois a dois:

v 1 , v 2 , v 3 =   4,4 , - 2 , 4 , - 2,4 , 1 , - 2 , - 2

T u , v = u , T v

T v 1 , v 2 = v 1 , T v 2

2 6,30,14 , 4 , - 2,4 = 4,4 , - 2 , 20,6 , 2

100 = 100

T v 2 , v 3 = v 2 , T v 3

20,6 , 2 , 1 , - 2 , - 2 = 4 , - 2,4 , - 1 , - 18 , - 7

4 = 4

T v 1 , v 3 = v 1 , T v 3

2 6,30,14 , 1 , - 2 , - 2 = 4,4 , - 2 , - 1 , - 18 , - 7

- 62 = - 62

Ufa, acabou! Deu tudo certinho, então o operador é autoadjunto!

Passo 3

Ok, temos um operador linear definido como uma mistura de operações de outros dois! Vamos começar verificando se os outros dois são autoadjuntos:

U x , y = x + y , x + y

U = 1 1 1 1

V x , y = x + 2 y , 2 x + y

V = 1 2 2 1

As matrizes que representam ambas os operadores na base canônica são simétricas! Logo, elas são autoadjuntas. Pelas propriedades de matrizes adjuntas sabemos que como U e V são simétricos:

  • 7 V é simétrico;
  • U - 1 é simétrico;
  • U V é simétrico se U V = V U

Bom, precisamos verificar essa última aí:

U V = U V = 1 1 1 1 1 2 2 1 = 3 3 3 3

V U = V U = 1 2 2 1 1 1 1 1 = 3 3 3 3

Opa, temos que U V = V U , então todos os termos de T são simétricos! Por fim sabemos que a soma de operadores autoadjuntos é um operador autoadjunto. Logo, T x , y é autoadjunto!

Resposta

a Não

b   Sim

c Sim

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