UTFPR, sem campus, Geometria Analítica e Álgebra Linear, P1, 2018.1, questão 3a
Verifique se as funções abaixo são operadores lineares ou não:
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função e pediu pra gente verificar se ela é um operador linear. Para que esse seja um operador linear, ele precisa satisfazer as duas condições de uma transformação linear. Mas quais condições são essas?
Vamos relembrá-las:
Dizemos que algo é linear se ele satisfaz as seguintes propriedades:
Então, o que nós vamos fazer é aplicar a função que ele nos deu nessas duas propriedades e ver se os resultados são satisfeitos.
Vamos lá!
Passo 2
Verificando a primeira propriedade, vamos assumir que:
Agora vamos pegar só o lado esquerdo da igualdade e aplicar a transformação :
Somando cada componente:
Beleza, agora vamos pegar o lado direito da igualdade lá de cima:
Aplicando a transformação:
Opa! Os resultados são iguais. Logo, podemos dizer que a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 3
Agora vamos testar a segunda propriedade . Assumindo que:
Agora vamos pegar apenas o lado esquerdo da equação e aplicar a função transformação:
Verificando o lado direito:
E chegamos a resultados iguais novamente. Logo, a segunda propriedade também é satisfeita e podemos dizer que a função é um operador linear.
Valeu, galera. Até a próxima! 😉