Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Considere as afirmativas:

  1. Toda matriz triangular superior é diagonalizável.
  2. A matriz a d e d b f e f c é diagonalizável.

( a ) Ambas as afirmativas são verdadeiras.

( b ) Apenas a afirmativa I é verdadeira.

( c ) Apenas a afirmativa I I é verdadeira.

( d ) Ambas as afirmativas são falsas.

Passo 1

Afirmativa I :

Vou te dar um exemplo pra provar que ela é falsa! Olha essa matriz aqui:

1 1 0 1

Como ela é triangular, os autovalores dela são os elementos da diagonal, 1 e 1 . Para encontrarmos os autovetores fazemos:

1 - 1 1 0 1 - 1 0 0 = 0 1 0 0 0 0

y = 0

Logo, os autovetores associados ao autovalor 1 são do tipo x , 0 . Então nosso autoespaço tem apenas dimensão 1 !! Como a dimensão da soma dos autoespaços não é igual à dimensão do domínio 2 , a matriz não é diagonalizável.

Só pra contextualizar você um pouquinho essa é a matriz cisalhamento. Ela é muito útil como contra exemplo de algumas afirmativas que costumam aparecer em provas já que é uma matriz que possui apenas uma direção de autovetores. Então é bom ter ela em mente haha.

Enfim, essa afirmativa é falsa.

Passo 2

Afirmativa I I :

Po, essa afirmativa é tão verdadeira que tem até um teorema só pra ela haha. Pelo Teorema Espectral sabemos que toda matriz simétrica é diagonalizável, então essa é verdadeira.

Resposta

Letra ( c )

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