A5 T7
Considere as afirmativas:
- Toda matriz triangular superior é diagonalizável.
- A matriz é diagonalizável.
Ambas as afirmativas são verdadeiras.
Apenas a afirmativa é verdadeira.
Apenas a afirmativa é verdadeira.
Ambas as afirmativas são falsas.
Passo 1
Afirmativa :
Vou te dar um exemplo pra provar que ela é falsa! Olha essa matriz aqui:
Como ela é triangular, os autovalores dela são os elementos da diagonal, e . Para encontrarmos os autovetores fazemos:
Logo, os autovetores associados ao autovalor são do tipo . Então nosso autoespaço tem apenas dimensão !! Como a dimensão da soma dos autoespaços não é igual à dimensão do domínio , a matriz não é diagonalizável.
Só pra contextualizar você um pouquinho essa é a matriz cisalhamento. Ela é muito útil como contra exemplo de algumas afirmativas que costumam aparecer em provas já que é uma matriz que possui apenas uma direção de autovetores. Então é bom ter ela em mente haha.
Enfim, essa afirmativa é falsa.
Passo 2
Afirmativa :
Po, essa afirmativa é tão verdadeira que tem até um teorema só pra ela haha. Pelo Teorema Espectral sabemos que toda matriz simétrica é diagonalizável, então essa é verdadeira.
Resposta
Letra