A5 T7
Seja uma matriz quadrada.
Se é simétrica, então é diagonalizável.
Se é diagonalizável, então é invertível.
Se é invertível, então é simétrica.
Se é ortogonal, então é diagonalizável.
Passo 1
Sabemos pelo teorema espectral que se a matriz for simétrica então é diagonalizável, logo a resposta certa seria a letra .
Entretanto vamos analisar as outras questões:
Para uma matriz ser invertível deve ter , certo? E se a nossa matriz é diagonalizável temos alguma informação sobre o determinante? Não!! Logo a afirmação é falsa.
Passo 2
De novo, para uma matriz ser invertível sabemos que possui . E para uma matriz ser simétrica? Deve possuir os elementos “espelhados” em relação a diagonal principal. Sendo assim, o influi algo na condição da matriz ser simétrica? Também não !
Uma matriz ortogonal possui seus vetores coluna ORTONORMAIS. E o que isso nos fornece?? Que os vetores possuem norma e são ortogonais, que por usa vez também são . Eles estarem normalizados ou não, pouco importa, pois é apenas um múltiplo diferente deles. Então vamos pensar, o que matriz com vetores colunas tem de especial?? Nos diz algumas coisas na verdade e algumas delas são que:
é invertível e
Mas fora isso, não sabemos nada sobre os autovalores e autovetores! Então a afirmativa também é falsa.
Resposta
Letra