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Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Exercício 31245678910111213141516171819202122232425

Enunciado

Considere T : R 3 ⟶ R 3 dada por T x , y , z = x , y , z × 0 , a , 0 + ( 2 x + 2 a z , a y , 2 z ) , onde a ∈ R . Denotamos por ε a base canônica de R 3 .

a   Calcule a matriz T ε ← ε e determine se T é diagonalizável para qualquer valor a ∈ R . (Dica: não tente calcular os autovetores)

b   No caso em que a = 2 , ache uma base de R 3 constituída de autovetores de T .

Passo 1

a   Bom, para começar vamos construir a matriz antes de tudo.

T 1,0 , 0 = 1,0 , 0 × 0 , a , 0 + ( 2,0 , 0 )

T 0,1 , 0 = 0,1 , 0 × 0 , a , 0 + 0 , a , 0

T 0,0 , 1 = 0,0 , 1 × 0 , a , 0 + ( 2 a , 0,2 )

Calculando os produtos vetoriais:

1,0 , 0 × 0 , a , 0 = i j k 1 0 0 0 a 0 = a k = ( 0,0 , a )

0,1 , 0 × 0 , a , 0 = i j k 0 1 0 0 a 0 = 0,0 , 0

0,0 , 1 × 0 , a , 0 = i j k 0 0 1 0 a 0 = - a i = - a , 0,0

Passo 2

E assim:

T 1,0 , 0 = 0,0 , a + 2,0 , 0 = ( 2,0 , a )

T 0,1 , 0 = 0,0 , 0 + 0 , a , 0 = ( 0 , a , 0 )

T 0,0 , 1 = - a , 0,0 + 2 a , 0,2 = ( a , 0,2 )

Calculando a matriz:

T ε = 2 0 a 0 a 0 a 0 2

Como podemos ver a matriz é simétrica, então de acordo com o teorema espectral, a matriz é diagonalizável, então todas as outras representações também são, e portanto, T é diagonalizável.

Passo 3

b   Agora substituindo a = 2 na matriz:

T ε = 2 0 2 0 2 0 2 0 2

Agora para achar os autovalores:

T ε - λ I = 2 - λ 0 2 0 2 - λ 0 2 0 2 - λ

det ⁡ T ε - λ I = 2 - λ 3 - 4 2 - λ = 0 ⇒

2 - λ 2 - λ 2 - 4 = 0

2 - λ = 0 ⇒ λ = 2

o u

2 - λ 2 - 4 = 0 ⇒ 2 - λ 2 = 4 ⇒ 2 - λ = ± 2

λ = 0   o u   λ = 4

Passo 4

Para achar os autovetores:

Para λ = 2 :

0 0 2 0 0 0 2 0 0 x y z = 0 ⇒

2 z = 0 ⇒ z = 0 0 = 0 2 x = 0 ⇒ x = 0

Sabemos que x = z = 0 , mas y pode ser qualquer coisa!!

0 , y , 0 = y 0,1 , 0 ∴

V λ = 2 = s p a n 0,1 , 0

Para λ = 0 :

2 0 2 0 2 0 2 0 2 x y z = 0 ⇒

2 x + 2 z = 0 ⇒ x = - z 2 y = 0 ⇒ y = 0 2 x + 2 z = 0

x , y , z = - z , 0 , z = z - 1,0 , 1

V λ = 0 = s p a n - 1,0 , 1

Para λ = 4

- 2 0 2 0 - 2 0 2 0 - 2 x y z = 0 ⇒

- 2 x + 2 z = 0 ⇒ x = z - 2 y = 0 ⇒ y = 0 2 x - 2 z = 0

x , y , z = z , 0 , z = z 1,0 , 1

V λ = 4 = s p a n { 1,0 , 1 }

Assim uma possível base α de R 3 pode ser:

α = 1,0 , 1 , - 1,0 , 1 , 0,1 , 0

Resposta

a   É diagonalizável.

b   Uma possível base de R 3 é: α = 1 , 0,1 , - 1,0 , 1 , 0,1 , 0

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