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Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Seja A = 1 - 1 - 1 1

a   Determine de A é diagonalizável.

b   Se ela for, apresente uma P e P - 1 que satisfaça a diagonalização.

Considere:

A = P D P - 1

Passo 1

a   Bom, existem dois jeitos de fazer essa questão. Um deles é o no pau e pedra e achar os autovetores e verificar se existe ou não uma base de autovetores. Nesse caso, você teria que achar o domínio da transformação que representa essa A .

Por outro lado, podemos ver que a matriz A é simétrica, e pelo teorema espectral sabemos que ela é diagonalizável.

Passo 2

b   Um jeito fácil e rápido para montar a nossa P e P - 1 é usar o teorema espectral. Por que se a nossa P for ortogonal, teremos P - 1 = P T . No entanto como estamos trabalhando com matrizes 2 × 2 , inverter a matriz fica bem fácil! É só fazer isso oh:

A = a b c d

A - 1 = 1 det ⁡ A d - b - c a

Então primeiro vamos calcular os autovalores.

A - λ I = 1 - λ - 1 - 1 1 - λ ⇒

det ⁡ A - λ I = p λ = 1 - λ 2 - 1

1 - λ 2 - 1 = 0 ⇒   1 - λ 2 = 1 ⇒

1 - λ = ± 1 ⇒

λ = 0 ou λ = 2

Passo 3

Vamos calcular os autovetores para λ = 0 :

1 - 1 - 1 1 x y = 0

x - y = 0 ⇒ x = y - x + y = 0

x , x = x 1,1 ⇒

V λ = 0 = s p a n 1,1

Para λ = 2 :

- 1 - 1 - 1 - 1 x y = 0

- x - y = 0 ⇒ x = - y

- y , y = y - 1,1

V λ = 2 = s p a n - 1,1

Passo 4

Então podemos definir nossa P como:

P = 1 - 1 1 1

Invertendo:

P - 1 = 1 2 1 1 - 1 1 = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

Agora pra ver se se satisfaz é só multiplicar:

A = P D P - 1 ⇒ D = P - 1 A P

D = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 ⋅ 1 - 1 - 1 1 ⋅ 1 - 1 1 1

D = 0 0 - 1 1 ⋅ 1 - 1 1 1

D = 0 0 0 2

Resposta

a Sim, pois A é simétrica.

b P = 1 - 1 1 1 e P - 1 = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

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