A matriz possui dois autovalores distintos, e Sabe-se que é uma base do autoespaço associado a e é uma base do autoespaço associado a . Considere as afirmativas:
(I) Se e , então A é simétrica.
(II) Se e então A é simétrica.
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
Sabemos pelo Teorema Espectral que se uma matriz é simétrica, então ela possui uma base de autovetores ortonormais.
Isso significa que seus autovetores, além de serem ortogonais dois a dois (produto interno igual a zero), também são unitários, ou seja, têm norma 1.
Ou seja, vamos ter que verificar se os autovetores dados formam base ortonormal de .
Se isso acontecer, a matriz vai ser simétrica.
Passo 2
(I) Temos
E esses três vetores não formam um conjunto ortogonal.
Mas podemos sempre ortogonalizar um conjunto a partir do processo de ortogonalização de Gram Schmidt, certo??
Pra isso, vamos criar uma base ortogonal onde:
Então temos uma base ortogonal:
Pra ela virar ortonormal, basta normalizar cada um dos vetores, ou seja, dividi-los pela norma!
Não vamos fazer a conta aqui, mas sabemos que isso é possível.
Portanto, existe uma base ortonormal de autovetores e A é simétrica.
Passo 3
(II) Nesse caso:
O conjunto formado por já é ortogonal, então não vamos precisar ortogonalizá-lo como fizemos antes.
Além disso, para que esse conjunto seja ortonormal, basta dividirmos cada vetor pela sua norma.
Como existe uma base ortonormal de autovetores, a matriz A é simétrica.
Resposta
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.